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我谈一阶差分算子的演化

news 2025/6/5 12:07:45

禹晶、肖创柏、廖庆敏《数字图像处理（面向新工科的电工电子信息基础课程系列教材）》P234

二维与一维最本质的不同在于，二维有对角方向。所以才有了Roberts、Prewitt和Sobel算子。
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一维离散序列的一阶差分的定义可以直接扩展到二维离散序列。

前向差分 (Forward Difference)

对于一个函数 $f (x)$ ，在点 $x$ 处的一阶前向差分可以表示为：
$\approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
其中， $h$ 是一个小的正数，表示步长。前向差分是最简单的差分形式，它使用当前点和下一个点之间的差值来近似导数。

这样的直接扩展，二维是可分离的。
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中心差分 (Central Difference)

中心差分通常提供更高的精度，因为它使用当前点两侧的点来近似导数：

$\approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$
一维到二维。
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一维的计算MATLAB没有使用滤波，直接计算差分。

    case 'centraldifference' if isrow(I)            Gx = gradient(I);if nargout > 1Gy = zeros(size(I),'like',I);end            elseif iscolumn(I)            Gx = zeros(size(I),'like',I);if nargout > 1Gy = gradient(I);end                else            [Gx, Gy] = gradient(I);endcase 'intermediatedifference' Gx = zeros(size(I),'like',I);if (size(I,2) > 1)        Gx(:,1:end-1) = diff(I,1,2);endif nargout > 1Gy = zeros(size(I),'like',I);if (size(I,1) > 1)Gy(1:end-1,:) = diff(I,1,1);endend

Roberts、Prewitt和Sobel算子是考虑对角邻域的二维一阶差分模板。
Roberts是第一个，通过交叉，考虑了一个对角邻域。
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Prewitt和Sobel算子均考虑了4个对角邻域。Sobel的数学推导

这三个MATLAB都是通过滤波计算。Roberts是在edge中，考虑了归一化。Prewitt和Sobel算子是在imgradientxy函数中，没有考虑归一化。

    elseif strcmp(method, 'roberts')x_mask = [1 0; 0 -1]/2; % Roberts approximation to diagonal derivativey_mask = [0 1;-1  0]/2;% compute the gradient in x and y directionbx = imfilter(a,x_mask,'replicate');by = imfilter(a,y_mask,'replicate');% compute the magnitudeb = kx*bx.*bx + ky*by.*by;

    case 'sobel'h = -fspecial('sobel'); % Align mask correctly along the x- and y- axesGx = imfilter(I,h','replicate');if nargout > 1Gy = imfilter(I,h,'replicate');endcase 'prewitt'h = -fspecial('prewitt'); % Align mask correctly along the x- and y- axesGx = imfilter(I,h','replicate');if nargout > 1Gy = imfilter(I,h,'replicate');end