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基础算法--枚举

news 2025/5/16 6:17:16

枚举算法是一种简单而有效的算法，它通过枚举所有可能的情况来解决问题。它通常用于解决问题规模比较小的问题，因为它的时间复杂度很高，随着问题的规模增加，算法的效率会急剧下降。

枚举算法的基本思路是通过循环遍历所有可能的情况，找到最优解或满足条件的解。它的步骤通常包括：

1.选择一个变量作为枚举变量，并确定它的取值范围。

2.在循环过程中遍历所有可能的取值，并执行某种操作。

3.检查每个可能的解是否符合要求，如果符合要求就记录下来。

4.在所有可能的解中，选择最优解或满足特定条件的解。

枚举作为一个基础的算法，除了与模拟算法有着密不可分的关系，还对解决一些线性表的问题有很大帮助。在解决线性表的问题中，枚举分为：线性枚举、二分枚举、三分枚举。在算法中，又可以分为暴力枚举(穷举法)、排列组合枚举、状压DP。这些算法都有其特定的适用场景和优缺点，需要根据具体的情况选择合适的算法。

叽里咕噜一大堆，今天带你认识一下各种词汇，别被它的名字给吓到，也许有些知识你学过但是你并不知道它的官方叫法而已。

一、线性枚举

简介：

线性枚举指的是遍历某一个一维数组(顺序表)的所有元素，找到满足条件的那个元素并且返回，返回的可以是下标，也可以是元素本身。由于是遍历的，穷举了所有情况，所以一定是可以找到解的，除非问题本身无解。一些资料上也称之为暴力算法(Brute Force)

练习：

给出一个数组：int* arr[10]={3,6,2,5,8,9,7,4,1,0};要求找到7所在位置的下标是多少。

int fuc(int* arr,int n,int targ){//arr={......};n=10;targ=7for(int i=0;i<n;i++){if(arr[i]==targ)return i;}return NULL;
}

总结：

线性模拟就是循环遍历的一种叫法，时间复杂度O(n)，认识即可。ok~技能树成功点亮了一叶。

二、二分枚举

简介：

如果在顺序表是有序的情况下，我们可以采取折半的方法去查找，这种方法称为二分枚举。

二分传送门：查找算法--二分查找-CSDN博客

练习：

洛谷2440-木材加工（这道题在上面传送的那个文章中讲过）

木材厂有 𝑛 根原木，现在想把这些木头切割成 𝑘k段长度均为 𝑙的小段木头（木头有可能有剩余）。当然，我们希望得到的小段木头越长越好，请求出 𝑙的最大值。木头长度的单位是 cm，原木的长度都是正整数，我们要求切割得到的小段木头的长度也是正整数。

例如有两根原木长度分别为 11和 21，要求切割成等长的 6 段，很明显能切割出来的小段木头长度最长为 5。

#include<vector>
#include<algorithm>
#include<iostream>using namespace std;
int maxLength(vector<int> v, int k)
{//二分的前提是顺序表有序sort(v.begin(), v.end());int m = v[v.size()-1];int left = 0;int right = m;int mid = (right - left) / 2 + left;while (left < right){if (right-left == 1) {//如果木段差==1,就该考虑返回left还是返回rightint s = 0; for (auto e : v) {s += (e / right);}if (s >= k)return right;//如果总段数大于k说明至少能截成k个right.return left;//没能进入返回}int sum = 0;//段数和for (auto e : v) {//每根原木的长度÷估计的最大段长->可截段数//每根原木的可截段数 求总和sum += (e / mid);}//二分if (sum >= k) {//根据中值求总段数，可以获得比标准数量更多的小木段//那么可以试着大一点，更新左值left = mid;}else if (sum < k) {//根据中值不能获取足够的小木段//那么可以试着小一点，更新右值right = mid-1;}mid = (right - left) / 2 + left;//中值--更新mid}//时间复杂度O(nlogn)，此时n为最短元素大小return mid;//结果理论为：left==mid==right
}
int main()
{int N, K; //N原木个数，K目标段数cin >> N >> K;vector<int> v(N);for (int i = 0; i < N; i++)cin >> v[i];//每根原木长度cout << maxLength(v, K) << endl;return 0;
}

总结：

这就是我们的二分法，时间复杂度为O(logn)。是不是又是一个熟悉的知识点。掌握了就在这个知识点的后面打上√吧。

三、三分枚举

简介：

三分枚举是一种用于求解单峰(单谷)函数极值的算法。它的基本原理是利用函数的单峰(单谷)性质，通过迭代的方式逐步缩小搜索范围，最终找到极值点。具体来说：对于形如y=ax²+bx+c的二次函数，其极值点位于x=-b/2a。如果给定一个包含极值点的区间，可以通过三分法逐步缩小区间范围，直到找到极值点。

练习：

牛客练习赛59-C.装备合成

牛牛有x件材料a和y件材料b，用2件材料a和3件材料b可以合成一件装备，用4件材料a和1件材料b也可以合成一件装备。牛牛想要最大化合成的装备的数量，于是牛牛找来了你帮忙。

输入包含t组数据
第一行一个整数t
接下来t行每行两个整数x,y

每组数据输出一行一个整数表示答案。

假设方案一做了m件装备，方案二做了n件装备，我们遍历m来求n，n=min((x-2m)/4, y-3m)，三分m，求n+m的最大值

由于三分时返回的m+n是整数，注意下面的情况时check(mid1)==check(mid2)&&check(mid1)<check(R) ，L=mid1+1，而不是R=mid2-1

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int x, y;
int check(int m){return m+min((x-2*m)/4, y-3*m);
}
int main(){   int T;cin>>T;while(T--){cin>>x>>y;int L=0, R = min(x/2, y/3);int ans = 0;while(L<=R){int mid1 = L+(R-L)/3, mid2 = R-(R-L)/3;int res1 = check(mid1), res2 = check(mid2);ans = max(res1, res2);if(res1<res2||(res1==res2&&res1<check(R))) L = mid1+1;else R = mid2-1;}cout<<ans;}return 0;
}

总结：

三分枚举算法常用于求解优化问题，特别是在没有明显规律可循的环境中。例如，在处理山峰高度调整问题时，可以通过三分枚举算法来最小化山峰之间的最大高度差。具体应用场景包括但不限于调整山峰高度、优化资源配置等。

三分枚举算法的优点在于其简单易懂，适用于求解单峰（或单谷）函数的极值问题。然而，它的缺点也很明显，即效率较低，特别是在处理大规模数据时，可能会消耗较多的计算资源。此外，三分枚举算法依赖于函数的单峰（或单谷）性质，如果函数不满足这一性质，算法将无法正确工作。

四、暴力枚举

简介：

暴力枚举，顾名思义，就是将问题的所有可能解逐一列举出来，然后一一验证，直到找到正确解。这种方法虽然看似粗暴，但对于规模较小的问题或者没有更优解法的情况下，往往是最直接有效的方法。数组的线性枚举就是暴力枚举的一种。

练习：

X星系的机器人可以自动复制自己。它们用1年的时间可以复制出2个自己，然后就失去复制能力。
每年X星系都会选出1个新出生的机器人发往太空。也就是说，如果X星系原有机器人5个，
1年后总数是：5 + 9 = 14
2年后总数是：5 + 9 + 17 = 31
如果已经探测经过n年后的机器人总数s，你能算出最初有多少机器人吗？

输入：输入一行两个数字n和s，用空格分开，含义如上。n不大于100，s位数不超过50位。
输出：要求输出一行，一个整数，表示最初有机器人多少个。

从有一个开始试，试到n年，看此时的结果是不是输入的总人数。是就输出并退出，不是的话就继续。今年能产生的机器人数量=去年的*2-1。然后把今年产生的加在总count里。判断count和输入的一不一样。

#include <iostream>
using namespace std;#define Long long long
int main() {int n;Long total,count = 0;Long thisYear=0,lastYear=0 ;cin >> n >>total;for (int i = 1; i < total; ++i) {count = thisYear = i;for (int j = 0; j < n; ++j) {lastYear = thisYear;thisYear = lastYear*2-1;count += thisYear;}if (count == total) {cout << i;return 0;} //else continue;}
}

五、排列组合枚举

简介：

1. 排列枚举:给定 n 个元素，枚举其所有的 r 元素排列可以使用递归或回溯的方法。

2. 组合枚举:同样地，组合的枚举也可以使用递归的方式来实现。

递归传送门：基础算法--递归算法【难点、重点】-CSDN博客

练习：

生成给定数组的所有排列组合：

#include <iostream>  
#include <vector>  
#include <algorithm>  
using namespace std;void permute(vector<int>& nums, int start) {  if (start == nums.size() - 1) {  // 输出当前排列  for (int num : nums) {  cout << num << " ";  }  cout << endl;  } else {  for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {  swap(nums[start], nums[i]); // 交换  permute(nums, start + 1);        // 递归  swap(nums[start], nums[i]); // 撤销交换  }  }  
}  void combine(const vector<int>& nums, int r, int start, vector<int>& path) {  if (path.size() == r) {  // 输出当前组合  for (int num : path) {  cout << num << " ";  }  cout << endl;  return;  }  for (int i = start; i < nums.size(); ++i) {  path.push_back(nums[i]); // 添加当前元素  combine(nums, r, i + 1, path); // 递归  path.pop_back(); // 撤销添加  }  
}  int main() {  vector<int> vec = {1, 2, 3};  permute(vec, 0);  vector<int> nums = {1, 2, 3};  int r = 2; // 组合的大小  vector<int> path;  combine(nums, r, 0, path);  return 0;  
}