1、对于极限的理解

1.1、贴近法

这个方法是由我自己给出的，其实就是对原定义的进一步解释：

贴近的意思就是指：无论是$x\to n$，还是$f(x)\to n$，箭头$\to$都是表示一个趋近的过程，也就是说它是运动的，且越来越靠近但永远无法到达，这样的一个行为就叫做贴近，而$n$就是所贴近的目标。

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=A$$

以上式子用贴近法来理解就是：当函数$f(x)$的自变量$x$贴近于$0$时，函数$f(x)$就贴近于$A$（当$x\to 0$时，$f(x)\to A$）。

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1.2、超实数系法

这个方法由张宇在2025考研中首次提到，我将融入我自己的进一步理解进行解释：

1、超实数系是一个比实数系更大的数学范围，无穷大和无穷小在超实数系中都是有定义的。

2、在超实数系中，每一个实数都拥有自己的超实数域，超实数域类似于这个实数的去心邻域，但与去心邻域不同的是：

（1）超实数域的范围趋近于无穷小；

（2）每个实数的超实数域里有无限个超实数，且每个超实数都无限趋近于当前超实数域所属的实数，也就是说每个超实数与所依附的实数的距离趋近于无穷小。且每个超实数都仅会依附于唯一的实数。

（3）当某个函数$f(x)$无限趋近于某个实数$A$时，则此函数便进入了这个实数$A$的超实数域，并成为实数$A$的一个超实数。

（4）超实数域中的每一个超实数与其所依附实数的靠近程度虽然无限小，可是不同的超实数的靠近程度却有差异，并且在超实数系中，靠近程度不能简单地使用距离这个概念去理解。

3、用超实数系法来理解函数的极限：

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=A$$

函数$f(x)$的自变量$x$趋近于实数$0$（$x\to 0$），代表着$x$进入$x$轴上实数$0$的超实数域并成为实数$0$的一个超实数；此时函数$f(x)$也会趋近于另一个实数$A$（$f(x)\to A$），即函数$f(x)$也会进入$y$轴上实数$A$的超实数域并成为实数$A$的一个超实数。

此时这个实数$A$就是自变量$x$趋近于实数$0$时，函数$f(x)$的极限。

4、超实数域仅存在于超实数系中，是无法在实数轴上表现出来的（实数系是宏观，超实数系是微观）。

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1.3、超实数系法对等价无穷小的理解

2、极限的性质

2.1、唯一性