算法-模型似然值计算

1、C++示例代码

 for (int i = 0; i < model_size; ++i) {// 模型i更新imm_ukf_[i].Update(Z, ntime);// 模型i观测值与预测值的差Eigen::VectorXd Zminus = imm_ukf_[i].Get_Zminus();// 模型i的预测协方差矩阵Eigen::MatrixXd S = imm_ukf_[i].Get_S();// 计算模型i的似然值model_ita[i] = 1/(sqrt(2*M_PI)*sqrt(fabs(S.determinant())))*exp(-0.5* Zminus.transpose() * S.inverse() * Zminus);
}

2、似然值介绍
似然值（Likelihood Value）是统计学中的一个重要概念，尤其在参数估计和模型选择中扮演着关键角色。它描述了给定一组观测数据下，某个模型或参数取值“看起来”或“似乎”有多合理或可能。具体来说，似然值并不是概率，因为它并不表示某个事件发生的可能性；相反，它表示在给定的模型或参数条件下，观测数据出现的可能性。
定义
在数学上，似然函数（Likelihood Function）定义为在给定观测数据$X$的条件下，模型参数$z$的函数$L(\theta \mid X))$。这个函数的值表示在参数$\theta$取值下，观测数据$X$出现的“似然性”或“合理性”。注意，这与概率函数$L(X\mid \theta ))$在形式上可能相同，但它们的解释是不同的：概率函数描述了在已知参数下观测数据出现的概率，而似然函数则用于在给定的观测数据下评估不同参数值的合理性。
性质
非负性：似然值总是非负的，因为概率总是非负的。
归一化：对于离散分布，所有可能参数值下的似然值之和（或对于连续分布，似然值的积分）并不等于1，因为似然值不是概率。但是，在最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）中，我们关注的是找到使似然函数最大的参数值，而不是似然值的绝对大小。
相对性：在比较不同参数值或不同模型的似然值时，我们关注的是它们的相对大小，而不是它们的绝对大小。
3、数学公式
在统计学和机器学习中，当我们有一个模型，该模型给出了预测值以及这些预测的不确定性（通常以协方差矩阵的形式给出），并且我们有一组实际的测量值时，我们可以使用这些信息来计算模型的似然值。通常，这种计算假设测量值和预测值之间的差异遵循高斯（正态）分布。
假设我们有：

• $\hat{z}$：模型的预测值（向量）

• $z$：实际的测量值（向量）

• $S$：预测的协方差矩阵（对称正定矩阵）

我们想要计算的是，在给定预测值和协方差矩阵的情况下，观测到实际测量值的似然值。这可以通过高斯分布的概率密度函数（PDF）来实现。

高斯分布的PDF为：
$$p(z|\mu ,\Sigma )=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^n|\Sigma |}exp(-\frac{1}{2}(z-\mu {)}^T{\Sigma }^{-1}(z-\mu ))}$$

其中，

• $z$是$n$维观测向量
• $\mu$是$n$维均值向量（在我们的情况下，它是$\hat{z}$）
• $\Sigma$是$n\times n$协方差矩阵（在我们的情况下，它是$S$）
• $|\Sigma |$是$\Sigma$的行列式

将$\mu =\hat{z}$和$\Sigma =S$代入上式，我们得到：
$$p(z|\hat{z},S)=\frac{1}{\sqrt{(2\pi {)}^n|S|}exp(-\frac{1}{2}(z-\hat{z}{)}^T{S}^{-1}(z-\hat{z}))}$$

这个$p(z|\hat{z},S)$就是我们想要的似然值。它衡量了在给定预测$\hat{z}$和预测协方差$S$的情况下，观测到$z$的“合理性”或“可能性”。