证明一个特定形式的函数在其三个正根中，两个较小根处的导数之和小于零

假设$M$和$Q$是给定的正的常数，然后定义一个函数$f(r)$。这个函数的定义如下：

$f(r)=1-\frac{M}{r^2}+\frac{Q}{r^4}-r^2,r>0$。

如果$f$有三个不同的正根 $r_c>r_{+}>r_{-}>0$，证明 $f^{\prime }(r_{+})+f^{\prime }(r_{-})<0$。

其中，$f^{\prime }(r)$ 是函数 $f(r)$ 的导数。

证：

为了证明$f^{\prime }(r_{+})+f^{\prime }(r_{-})<0$，我们可以按照以下步骤进行:

1.明确函数定义:

给定的函数为$f(r)=1-\frac{M}{r^2}+\frac{Q}{r^4}-r^2$，其中$M$和$Q$是正的常数。

2.计算导数:

求导得到$f^{\prime }(r)=\frac{2M}{r^3}-\frac{4Q}{r^5}-2r$。

3.利用函数根的性质:

由于$r_{+}$和$r_{-}$是$f(r)$的两个不同的正根，即$f(r_{+})=f(r_{-})=0$。这意味着在$r_{+}$和$r_{-}$处，函数值均为零。

4.分析导数符号:

我们需要分析$f^{\prime }(r_{+})$和$f^{\prime }(r_{-})$的符号。由于$f(r)$在$r_{+}$和$r_{-}$处取得极值(因为它们是根)，所以$f^{\prime }(r_{+})$和$f^{\prime }(r_{-})$必须异号。但由于题目要求证明它们的和小于零，我们需要进一步分析。

5.利用函数图像和性质：

由于$f(r)$是一个四次函数（虽然看起来复杂，但我们可以将其视为关于$r^2$的二次函数加上常数项进行调整），其图像可能具有多个拐点。然而，由于M和Q是正数，且r是正数，我们可以推断出在某些区间内，函数的增减性。

6.结合具体条件进行推导：

由于$r_{+}>r_{-}>0$，我们可以假设在(0,$r_{-}$)区间内，函数$f(r)$是递增的（即$f^{\prime }(r)>0$)，而在($r_{-}$,$r_{+}$)区间内，函数可能是递减的（即$f^{\prime }(r)<0$)，并且在($r_{+}$,+∞)区间内再次递增（但这部分对于证明当前问题不是必需的）。

7.得出结论:

由于$f^{\prime }(r_{+})$ 和 $f^{\prime }(r_{-})$异号，且我们假设在$r_{-}$处函数由递增变为递减(即$f^{\prime }(r_{-})$从正变为负)，而在$r_{+}$处函数继续递减(即$f^{\prime }(r_{+})<0)$，因此可以推断出$f^{\prime }(r_{+})+f^{\prime }(r_{-})<0$。

注意:上述推导中的假设部分(特别是在$(0,r_{-})$和 $(r_{-},r_{+})$区间的增减性)需要更严格的数学证明来支持。这里的解释是为了提供一个直观的思路。在实际证明中，可能需要利用更高级的微积分技巧或数值方法来验证这些假设。

另外，值得注意的是，虽然题目中提到的$f(r)$是一个四次函数，但通过适当的变量替换(如令$x=r^2)$，我们可以将其转化为一个关于$x$的二次函数加上常数项的形式，这可能有助干简化分析和证明过程。