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【C++】二叉搜索树

news 2025/7/1 11:59:25

一、二叉搜索树的概念

二叉搜索树又称搜索二叉树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树：

若它的左子树不为空，则左子树上所有结点的值都小于等于根结点的值。
若它的右子树不为空，则右子树上所有结点的值都大于等于根结点的值。
它的左右子树也分别为⼆叉搜索树。

⼆叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，具体看使用场景定义。

比如：map / set / multimap / multiset 系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不支持插入相等
值，multimap/multiset支持插入相等值。

二、二叉搜索树的性能分析

在二叉搜索树中，如果想要搜查到某一个数时，最多要找高度次。

下面分两种情况：

最优情况下，二叉搜索树为完全二叉树(或者接近完全⼆叉树)，其时间复杂度为： $O(\log_{2}N)$
最差情况下，二叉搜索树退化为单支树(或者类似单支)，其时间复杂度为： $O(N)$

那么像O(N)这样的效率显然是无法满足我们需求的，我们必须对最坏情况下的二叉搜索树进行控制，所以就有了⼆叉搜索树的变形，即平衡⼆叉搜索树(可以降低高度)，平衡搜索树又衍生出了AVL树、红黑树、B树系列(B树、B+树、B*树)等，这几种树都可以满足查找，还有另外一种结构-哈希表，也可以进行查找。

大家先前应该学习过二分查找，这种查找效率也是很高的，它的时间复杂度是： $O(\log_{2}N)$ ，但它有局限性：

需要存储在支持下标随机访问的结构中，并且有序。
插入和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插入和删除数据一般需要挪动数据。

三、二叉搜索树的具体实现

1、框架

//二叉搜索树结点信息
template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key) //构造函数:_key(key),_left(nullptr),_right(nullptr){}
};//二叉搜索树(Binary Search Tree)
template <class K>
class BSTree
{//typedef BSTNode<K> Node;using Node = BSTNode<K>; //C++新增的using用法，这里的using的typedef的效果一样，只是用法形式不一样
public://...private:Node* _root = nullptr; //根节点指针，这里给一个缺省值，就不用显示写构造函数了
};

在"//..."这个位置上进行二叉搜索树的各种功能接口的实现。

2、二叉搜索树的插入

⼆叉搜索树中可以支持插入相等的值，也可以不支持插入相等的值，我们通常会将这两种情况分开实现，我们下面的实现以不支持插入相等的值为例进行操作，那么二叉树就遵循左子树上所有结点的值都小于根结点的值，右子树上所有结点的值都大于根结点的值。

插入的具体过程：

树为空：则直接新增结点，赋值给root指针。
树不为空：按⼆叉搜索树性质，插入值比当前结点大往右走，插入值比当前结点小往左走，找到空位置，插入新结点。
如果支持插入相等的值，插入值跟当前结点相等的值可以往右走，也可以往左走，找到空位置，插入新结点。(要注意的是要保持逻辑⼀致性，插入相等的值不要一会往右走，一会往左走)

代码实现：

bool Insert(const K& key)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur)  //找到空位置进行插入{if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false; //不允许插入相同的值}}Node* newnode = new Node(key); //创建新结点//这时cur不确定在parent的那一边，所以要进行判断，最后插入新结点//if (parent->_left == cur)//parent->_left = newnode;//else//parent->_right = newnode;//用上面这种方式进行判断是不可取的，因为parent可能是叶子节点，这时parent的左孩子为空，右孩子也为空，假设本意要插在parent的右边，结果if语句条件成立(因为此时cur是nullptr)，最后插入到左边去了，那就可能会破坏二叉搜索树的特点//正确逻辑应该这样：if (parent->_key > key)  //根据parent当前的值进行判断parent->_left = newnode;elseparent->_right = newnode;return true;
}

3、二叉搜索树中序遍历

根据二叉搜索树的特点，中序遍历的效果就相当于顺序遍历的效果。

现有一个问题，中序遍历时需要传一个头结点的参数，但当前类中的头结点时私有成员，不能直接拿到，解决方法有两种：(1)单独写一个接口函数用来获取私有成员，(2)间接调用

我们这里用方法二来实现：

void InOrder()
{_InOrder(_root);cout << endl;
}private:
void _InOrder(Node* root)
{if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);
}

类外部直接调用InOrder即可。

我们测试一下上面的功能是否正确：

int main()
{BSTree<int> t;int a[] = { 8,3,1,10,1,6,4,7,14,13 };for (auto e : a){t.Insert(e);}t.InOrder();return 0;
}

运行结果：

结果没问题，数组中两个1，最后直插入了一个，打印顺序也满足从小到大。

这里的二叉搜索树t的逻辑结构示意图如下：

4、二叉搜索树的查找

查找规则：

(1)从根开始比较，查找x，x比根的值大则往右边走查找，x比根值小则往左边走查找。

(2)最多查找高度次，走到到空，还没找到，这个值不存在。

(3)如果不支持插入相等的值，找到x即可返回。

代码实现：

//利用循环实现
bool Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key)cur = cur->left;else if (cur->_key < key)cur = cur->_right;elsereturn true;}return false;
}/************************************************///利用递归实现
public:bool Find(const K& key){return _Find(_root, key);}private:bool _Find(Node* _root, const K& key){if (_root == nullptr)return false;bool ret1 = false;bool ret2 = false;if (_root->_key == key){return true;}else if (_root->_key < key){ret1 = Find(_root->_right, key);}else{ret2 = Find(_root->_left, key);}return ret1 || ret2;}

(4)如果支持插入相等的值，意味着有多个x存在，一般要求查找中序的第一个x。如下图，查找3，要找到1的右孩子的那个3返回。

要想查找到中序遍历中第一个x，就必须先在左子树找，若找到x，就接着在当前位置的左子树找，直到左子树上找不到x了，那么当前位置就是中序遍历中的第一个x。

5、二叉搜索树的删除

首先查找要删除的元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理(假设要删除的结点是N)：

(1)N左右孩子均为空。

(2)N左孩子为空，右孩子不为空。

(3)N右孩子为空，左孩子不为空。

(4)N左右孩子均不为空。

针对以上四种情况的解决方案：

(1)把N结点的父亲对应孩子指针指向空，直接删除N结点(情况1可以当成情况2或情况3处理)

(2)把N结点的父亲对应孩子指针指向N的右孩子，直接删除N结点。

(3)把N结点的父亲对应孩子指针指向N的左孩子，直接删除N结点。

(4)无法直接删除N结点，因为N的两个孩子无处安放，可以用替换法删除。找N左子树的值最大结点R(最右节点)或N右子树的值最小结点R(最左节点)替代N，因为这两个结点中任意一个放到N的位置，都满足二叉搜索树的规则。替代N的意思就是将R的值赋给N，转而删除R结点，R结点又符合情况2或情况3，可以直接删除。

代码实现：

bool Erase(const K& key)
{Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除逻辑//左为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}//右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}//左右都不为空else{	//这里用右子树的最小结点(最左结点)来代替要删除的结点Node* replace = cur->_right; Node* replaceParent = nullptr; while (replace->_left){replaceParent = replace;replace = replace->_left;}//将replace结点的值赋给cur，再将replace删除即可cur->_key = replace->_key;replaceParent->_left = replace->_right;delete replace;}return true;}}return false;
}

我们来测试一下：

int main()
{BSTree<int> t;int a[] = { 8,3,1,10,1,6,4,7,14,13 };for (auto e : a){t.Insert(e);}t.InOrder();t.Erase(3);t.InOrder();return 0;
}

运行结果：

结果没有问题，但真的没有问题吗？我们现删除一下头结点8：

int main()
{BSTree<int> t;int a[] = { 8,3,1,10,1,6,4,7,14,13 };for (auto e : a){t.Insert(e);}t.InOrder();t.Erase(3);t.InOrder();t.Erase(8);t.InOrder();return 0;
}

运行结果：

程序崩溃了。

经过调试，发现：

在删除过程中，replaceParent是空指针，用空指针去访问_left肯定会有问题。

replaceParent为什么是空指针呢？

我们结合逻辑图来分析：

现在要删除8，我们的代码逻辑是找右子树的最小结点来间接替换8，现在8的右子树最小结点是10，我们的代码逻辑是将10赋值给8，然后删除10，while循环的条件是"replace->_left"，但此时"replace->_left"为空，所以while循环进不去，那么replaceParent的值就是起初给的nullptr。所以程序崩溃。但是replaceParent实际上是8这个位置结点的指针，它不为nullptr。如果要删除3，那么replace就是4，replaceParent就是6，那就应该修改replaceParen->_left的指向；如果要删除8，那么replace就是10，replaceParent就是8，那就应该修改replaceParen->_right的指向，所以不能固定修改replaceParen->_left的指向，要具体判断。所以我们需要对代码进行如下修改：

bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除逻辑//左为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}//右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}//左右都不为空else{	//这里用右子树的最小结点(最左结点)来代替要删除的结点Node* replace = cur->_right; Node* replaceParent = cur; //修改一while (replace->_left){replaceParent = replace;replace = replace->_left;}//将replace结点的值赋给cur，再将replace删除即可cur->_key = replace->_key;//修改二if (replaceParent->_left == replace)replaceParent->_left = replace->_right;elsereplaceParent->_right = replace->_right;delete replace;}return true;}}return false;}

运行结果：

这次就能正常删除8这个结点了，这就是删除的整体逻辑。

注意：二叉搜索树是不支持修改的，因为修改后可能就不是二叉搜索树了，破坏了二叉搜索树的性质。性质一旦被破坏，那原来的插入、查找、删除就无从谈起了。二叉搜索树中不单单是只能存放整形类型元素，其它可以比较的类型的元素都可以存放。

四、二叉搜索树的使用场景

1、key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的二叉树搜索树支持增删查，但是不支持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：小区无人值守车库，小区车库买了车位的业主车才能进小区，那么物业会把买了车位的业主的车牌号(字符串)录入后台系统(放入二叉搜索树中)，车辆进入时会扫描车牌(在二叉树中搜索)，看是否在系统中，如果在则抬杆，不在则提示非本小区车辆，无法进入。

场景2：检查一篇英文文章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放入二叉搜索树中，读取文章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提示。

2、key/value搜索场景

每一个关键码key，都有与之对应的值value，value可以是任意类型对象。在二叉搜索树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字走二叉搜索树的规则进行比较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树支持修改，但是不支持修改key，修改key破坏搜索树结构了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英文)和value(中文)，搜索时输入英文，则同时查找到了英文对应的中文。

场景2：商场无人值守车库，入口进场时扫描车牌，记录车牌(key)和入场时间(value)，出口离场时，扫描车牌(key)，查找入场时间(key对应的value)，用当前时间 - 入场时间计算出停车时长，计算出停车费用，缴费后抬杆，车辆离场。

场景3：统计一篇文章中单词出现的次数，读取一个单词，查找单词(key)是否存在，不存在这个说明第一次出现(单词，1)，单词存在，则++单词对应的次数(value)。

我们上面实现的代码是针对key搜索场景下的，那么对key搜索场景下的代码进行稍微修改，就可以变成key/value搜索场景下的代码。

五、key搜索场景下源码

namespace key
{//二叉搜索树结点信息template<class K>struct BSTNode{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key) //构造函数:_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}};//二叉搜索树(Binary Search Tree)template <class K>class BSTree{//typedef BSTNode<K> Node;using Node = BSTNode<K>; //C++新增的using用法，这里的using的typedef的效果一样，只是用法形式不一样public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur)  //找到空位置进行插入{if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false; //不允许插入相同的值}}Node* newnode = new Node(key); //创建新结点//这时cur不确定在parent的那一边，所以要进行判断，最后插入新结点if (parent->_key > key)parent->_left = newnode;elseparent->_right = newnode;return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key)cur = cur->_left;else if (cur->_key < key)cur = cur->_right;elsereturn true;}return false;}bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除逻辑//左为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}//右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}//左右都不为空else{//这里用右子树的最小结点(最左结点)来代替要删除的结点Node* replace = cur->_right;Node* replaceParent = cur; //修改一while (replace->_left){replaceParent = replace;replace = replace->_left;}//将replace结点的值赋给cur，再将replace删除即可cur->_key = replace->_key;//修改二if (replaceParent->_left == replace)replaceParent->_left = replace->_right;elsereplaceParent->_right = replace->_right;delete replace;}return true;}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr; //根节点指针，这里给一个缺省值，就不用显示写构造函数了};
}

六、key/value搜索场景下源码

namespace key_value
{//二叉搜索树结点信息template<class K,class V>struct BSTNode{K _key;V _value;BSTNode<K, V>* _left;BSTNode<K, V>* _right;BSTNode(const K& key,const V& value) //构造函数:_key(key),_value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}};//二叉搜索树(Binary Search Tree)//K-key  V-valuetemplate <class K, class V>class BSTree{//typedef BSTNode<K, V> Node;using Node = BSTNode<K, V>; //C++新增的using用法，这里的using的typedef的效果一样，只是用法形式不一样public:bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur)  //找到空位置进行插入{if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false; //不允许插入相同的值}}Node* newnode = new Node(key, value); //创建新结点//这时cur不确定在parent的那一边，所以要进行判断，最后插入新结点if (parent->_key > key)parent->_left = newnode;elseparent->_right = newnode;return true;}Node* Find(const K& key) //支持修改value，所以这里返回值为结点指针，便于修改value{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key)cur = cur->_left;else if (cur->_key < key)cur = cur->_right;elsereturn cur;}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除逻辑//左为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}//右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}//左右都不为空else{//这里用右子树的最小结点(最左结点)来代替要删除的结点Node* replace = cur->_right;Node* replaceParent = cur; //修改一while (replace->_left){replaceParent = replace;replace = replace->_left;}//将replace结点的值赋给cur，再将replace删除即可cur->_key = replace->_key;//修改二if (replaceParent->_left == replace)replaceParent->_left = replace->_right;elsereplaceParent->_right = replace->_right;delete replace;}return true;}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}private:Node* _root = nullptr; //根节点指针，这里给一个缺省值，就不用显示写构造函数了};
}

针对key/value搜索场景下，我们可以写点代码来看看它的作用：

int main()
{key_value::BSTree<string, string> dict; //key的类型是string，value的类型也是stringdict.Insert("left", "左边");dict.Insert("right", "右边");dict.Insert("insert", "插入");dict.Insert("string", "字符串");string str;while (cin >> str){auto ret = dict.Find(str);if (ret) //如果找到就返回该结点指针{cout << "->" << ret->_value << endl;}else{cout << "无此单词，请重新输入" << endl;}}return 0;
}

运行结果：

这样就可以达到输入英文出现对应汉语的效果，如果想要达到输入汉语输出对应英文那么只需把key和value的值互换即可。因为我们没有在dict中插入hello，所以在Find时就找不到。

这里在给出另外一种场景供大家理解：

int main()
{string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜","苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };key_value::BSTree<string, int> countTree;for (const auto& str : arr){// 先查找水果在不在搜索树中// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1>// 2、在，则查找到的结点中水果对应的次数++//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);auto ret = countTree.Find(str);if (ret == nullptr){countTree.Insert(str, 1);}else{// 修改valueret->_value++;}}countTree.InOrder();return 0;
}

运行结果：

这样就可以统计每个key出现的次数。

其实set容器底层就是key搜索场景，map容器底层就是key/value搜索场景。

set/map容器中是不含重复元素的，multiset/multimap容器中可以含重复元素。

七、其它注意事项

二叉搜索树是一个类，是类就有对象，是对象就有深浅拷贝问题。所以我们还需考虑拷贝构造、赋值重载、析构函数等等。接下来针对两种搜索场景来进行补充：

1、key

public://若只写拷贝构造，那么系统生成的默认拷贝构造就不再提供//所以我们要在此强制生成默认构造//BSTree() {} BSTree() = default;  //C++11新语法//拷贝构造BSTree(const BSTree & t){_root = Copy(t._root);}//赋值重载BSTree& operator=(BSTree tmp){swap(_root, tmp._root);return *this;}//析构函数~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}private:void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}

2、key/value

public://若只写拷贝构造，那么系统生成的默认拷贝构造就不再提供//所以我们要在此强制生成默认构造//BSTree() {} BSTree() = default;  //C++11新语法//拷贝构造BSTree(const BSTree & t){_root = Copy(t._root);}//赋值重载BSTree& operator=(BSTree tmp){swap(_root, tmp._root);return *this;}//析构函数~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}private:void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}

八、源码

1、BinarySearch.h

#pragma once
#include <iostream>
using namespace std;namespace key
{//二叉搜索树结点信息template<class K>struct BSTNode{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key) //构造函数:_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}};//二叉搜索树(Binary Search Tree)template <class K>class BSTree{//typedef BSTNode<K> Node;using Node = BSTNode<K>; //C++新增的using用法，这里的using的typedef的效果一样，只是用法形式不一样public://若只写拷贝构造，那么系统生成的默认拷贝构造就不再提供//所以我们要在此强制生成默认构造//BSTree() {} BSTree() = default;  //C++11新语法//拷贝构造BSTree(const BSTree & t){_root = Copy(t._root);}//赋值重载BSTree& operator=(BSTree tmp){swap(_root, tmp._root);return *this;}//析构函数~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur)  //找到空位置进行插入{if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false; //不允许插入相同的值}}Node* newnode = new Node(key); //创建新结点//这时cur不确定在parent的那一边，所以要进行判断，最后插入新结点if (parent->_key > key)parent->_left = newnode;elseparent->_right = newnode;return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key)cur = cur->_left;else if (cur->_key < key)cur = cur->_right;elsereturn true;}return false;}bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除逻辑//左为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}//右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}//左右都不为空else{//这里用右子树的最小结点(最左结点)来代替要删除的结点Node* replace = cur->_right;Node* replaceParent = cur; //修改一while (replace->_left){replaceParent = replace;replace = replace->_left;}//将replace结点的值赋给cur，再将replace删除即可cur->_key = replace->_key;//修改二if (replaceParent->_left == replace)replaceParent->_left = replace->_right;elsereplaceParent->_right = replace->_right;delete replace;}return true;}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}private:Node* _root = nullptr; //根节点指针，这里给一个缺省值，就不用显示写构造函数了};
}/***********************************************************************/namespace key_value
{//二叉搜索树结点信息template<class K,class V>struct BSTNode{K _key;V _value;BSTNode<K, V>* _left;BSTNode<K, V>* _right;BSTNode(const K& key,const V& value) //构造函数:_key(key),_value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}};//二叉搜索树(Binary Search Tree)//K-key  V-valuetemplate <class K, class V>class BSTree{//typedef BSTNode<K, V> Node;using Node = BSTNode<K, V>; //C++新增的using用法，这里的using的typedef的效果一样，只是用法形式不一样public://若只写拷贝构造，那么系统生成的默认拷贝构造就不再提供//所以我们要在此强制生成默认构造//BSTree() {} BSTree() = default;  //C++11新语法//拷贝构造BSTree(const BSTree& t){_root = Copy(t._root);}//赋值重载BSTree& operator=(BSTree tmp){swap(_root, tmp._root);return *this;}//析构函数~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur)  //找到空位置进行插入{if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false; //不允许插入相同的值}}Node* newnode = new Node(key, value); //创建新结点//这时cur不确定在parent的那一边，所以要进行判断，最后插入新结点if (parent->_key > key)parent->_left = newnode;elseparent->_right = newnode;return true;}Node* Find(const K& key) //支持修改value，所以这里返回值为结点指针，便于修改value{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key > key)cur = cur->_left;else if (cur->_key < key)cur = cur->_right;elsereturn cur;}return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//删除逻辑//左为空if (cur->_left == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;}//右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;}//左右都不为空else{//这里用右子树的最小结点(最左结点)来代替要删除的结点Node* replace = cur->_right;Node* replaceParent = cur; //修改一while (replace->_left){replaceParent = replace;replace = replace->_left;}//将replace结点的值赋给cur，再将replace删除即可cur->_key = replace->_key;//修改二if (replaceParent->_left == replace)replaceParent->_left = replace->_right;elsereplaceParent->_right = replace->_right;delete replace;}return true;}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}void Destroy(Node* root){if (root == nullptr)return;Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr)return nullptr;Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}private:Node* _root = nullptr; //根节点指针，这里给一个缺省值，就不用显示写构造函数了};
}

2、Test.cpp

#include "BinarySearch.h"//int main()
//{
//	key::BSTree<int> t;
//	int a[] = { 8,3,1,10,1,6,4,7,14,13 };
//
//	for (auto e : a)
//	{
//		t.Insert(e);
//	}
//
//	t.InOrder();
//
//	t.Erase(3);
//	t.InOrder();
//
//	t.Erase(8);
//	t.InOrder();
//
//	for (auto e : a)
//	{
//		t.Erase(e);
//		t.InOrder();
//	}
//
//	return 0;
//}//int main()
//{
//	key_value::BSTree<string, string> dict; //key的类型是string，value的类型也是string
//	dict.Insert("left", "左边");
//	dict.Insert("right", "右边");
//	dict.Insert("insert", "插入");
//	dict.Insert("string", "字符串");
//
//	string str;
//	while (cin >> str)
//	{
//		auto ret = dict.Find(str);
//		if (ret) //如果找到就返回该结点指针
//		{
//			cout << "->" << ret->_value << endl;
//		}
//		else
//		{
//			cout << "无此单词，请重新输入" << endl;
//		}
//	}
//	return 0;
//}//int main()
//{
//	string arr[] = { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜","苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };
//	key_value::BSTree<string, int> countTree;
//
//	for (const auto& str : arr)
//	{
//		// 先查找水果在不在搜索树中
//		// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1>
//		// 2、在，则查找到的结点中水果对应的次数++
// 
//		//BSTreeNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);
//		auto ret = countTree.Find(str);
//		if (ret == nullptr)
//		{
//			countTree.Insert(str, 1);
//		}
//		else
//		{
//			// 修改value
//			ret->_value++;
//		}
//	}
//	countTree.InOrder();
//
//
//	//key_value::BSTree<string, int> copy = countTree;
//	//copy.InOrder();
//
//	return 0;
//}