【题解】【递推】—— [NOIP2003 普及组] 栈

[NOIP2003 普及组] 栈

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题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即 pop（从栈顶弹出一个元素）和 push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，$1,2,\dots ,n$（图示为 1 到 3 的情况），栈 A 的深度大于 $n$。

现在可以进行两种操作，

1. 将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的 push 操作）
2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的 pop 操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由 1 2 3 生成序列 2 3 1 的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的 $n$，计算并输出由操作数序列 $1,2,\dots ,n$ 经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入格式

输入文件只含一个整数 $n$（$1\le n\le 18$）。

输出格式

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目。

输入输出样例

输入 #1

3

输出 #1

5

提示

【题目来源】

NOIP 2003 普及组第三题

1.思路解析

    像这种不需要关心每种方法，而是只需要关心方法数的题目，很明显可以用到递推。
    递推，我们只需要找到每种状态之间的关系和初始条件就行了。

    定义一个数组h，h[i]表示当栈中有i个元素时的出栈方法数。

    由于这个操作序列是递增的，所以对于1 2 3和2 3 4这种元素个数一样的序列方法数也一样。（不理解的话可以自己画图，尝试理解）。其实就是最优子结构

    先研究一种情况。当i=3时，我们可以分别让1，2，3最后出栈。

    对于每一种数k最后出栈的情况，先要让它前面的k-1个元素全部出栈，方法数为h[k-1]。然后要让它后面的n-k个元素全部出栈，方法数为h[n-k]。将它们相乘就是数k最后出栈的方法数。最后将每一个方法数相加就得到这一种情况的答案了。

那么递推式就是$h[n]=h[0]\ast h[n-1]+h[1]\ast h[n-2]+...+h[n-1]\ast h[0](n\ge 2)$

    初始条件呢？很明显，h[0]=h[1]=0。

2.AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int n,i,h[20]={1,1};//递推边界:h[0]=h[1]=1,h[i]代表当管中有i个元素时的出管方法数cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++)//分别计算h[i]for(int j=0;j<i;j++)//递推式:h[n]=h[0]*h[n-1]+h[1]*h[n-2]+...+h[n-1]*h[0](n≥2)h[i]+=h[j]*h[i-j-1];cout<<h[n];return 0;
}

3.后记

    不懂动态规划的可以先走了

    观察上文我提到的“最优子结构”，可以发现这道题具有动态规划的特征。因此，完全可以把这道题中的h数组看做dp。可以自己尝试寻找动态规划三要素——初始条件，状态转移方程和答案。

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