[贪心 + dp] 疯狂的火神

问题描述

火神为了训练，决定单挑 $n$ 个人。

由于火神训练时间有限，最多只有 $t$ 分钟，所以他可以选择一部分人来单挑，由于有丽子的帮助，他得到了每个人特定的价值，每个人的价值由一个三元组 $(a,b,c)$ 组成，表示如果火神在第 $x$ 分钟打倒了这个人，他就会得到 $a-b\times x$ 的经验值，当前这个人他需要 $c$ 分钟来打倒。

现在火神想知道，他最多可以得到多少经验值，由于火神本来就很笨，所以他希望你来帮他计算出他最多可以得到多少经验值。

输入格式

第一行一个正整数 $T$ ，表示数据组数。
对于每组数据，第一行为两个正整数 $n$ 和 $t$ ，表示跟火神单挑的人的个数和火神的训练时间。
下面 $n$ 行，每行三个正整数 $A_i,B_i,C_i$ ，表示每个人的价值，含义见题目。

输出格式

对于每组数据输出一行一个整数表示火神最多能得到多少经验值。

样例

样例输入1：

1
4 10
110 5 9
30 2 1
80 4 8
50 3 2

样例输出1：

88

数据范围

对于 $20\%$ 的数据，$1\le n\le 10$。
对于 $50\%$ 的数据，$1\le n\le 18$。
对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 1000,1\le t\le 3000,1\le C_i\le t,1\le A_i\le 10^6$。

对于 $n\le 200$ 的数据，$1\le T\le 10$。
对于 $n>200$ 的数据，$1\le T\le 5$。

保证每个人贡献的经验值到训练结束都不会变成负数。

题解

首先，我们先确定 $m$ 个人单挑，再确定顺序。

先确定 $m$ 个人，假设他们分别是 $x_1,x_2,\dots x_n$。

交换 $x_i$ 和 $x_{i+1}$，交换前损失了 $C_{x_i}\times B_{x_{i+1}}+K$（$K$ 是另外位置的值），交换后损失了 $C_{x_{i+1}}\times B_{x_i}+K$。

因此，只需考虑 $C_{x_i}\times B_{x_{i+1}}+K$ 和 $C_{x_{i+1}}\times B_{x_i}+K$ 的大小，如果 $C_{x_i}\times B_{x_{i+1}}+K>C_{x_{i+1}}\times B_{x_i}+K$，就要交换。简化一下就是 $C_{x_i}\times B_{x_{i+1}}>C_{x_{i+1}}\times B_{x_i}$，即 $\frac{B_{x_{i+1}}}{C_{x_{i+1}}}>\frac{B_{x_i}}{C_{x_i}}$。

排完序后，用动态规划解决。

用 $f_i$ 表示第 $i$ 分钟的最高经验值，状态转移为 $f_i=max(f_{i-C_j}+A_j-i\times B_j)(i\le j\le n)$。

答案就是 $max(f_i)(0\le i\le t)$。

int T;
int n, m;
struct node{int x, y, z;//x, y, z 对应 a, b, c
}a[1010];
bool cmp(node p, node q){return p.y * q.z > p.z * q.y;
}
int f[3010];//dp
int ans = 0;
int main(){scanf("%d", &T);while(T --){ans = 0;memset(f, 0, sizeof(f));输入sort(a + 1, a + n + 1, cmp);//dpfor(int i = 1; i <= n; ++ i){for(int j = m; j >= a[i].z; -- j){f[j] = max(f[j - a[i].z] + a[i].x - j * a[i].y, f[j]);}}for(int i = 1; i <= m; ++ i){ans = max(ans, f[i]);}printf("%d\n", ans);}
}