谱分解与Cholesky分解
要真正理解一般正规算子的谱分解是困难的，你几乎是绕不开“算子代数”的，我现在说一下思路：
1:有界的正规算子
设 TT 是希尔伯特空间上的有界线性算子，它可以生成一个交换的 C∗C^* 算子代数 ATA_T ，而且它的极大理想可以和 σ(T)\sigma(T) 构成的对应，因此我们可以有一个从 ATA_T 到 C(σ(T))C(\sigma(T)) 的Gelfand map Γ\Gamma ，而且这个映射是 ∗* 代数同构的，也就是说，反过来，我们随便给一个连续函数 u∈C(σ(T))u\in C(\sigma(T)) ，那么 Γ−1(u)\Gamma^{-1} (u) 是一个有界线性算子，特别的，我们可以有 Γ−1(1)=I\Gamma^{-1}(1)=I , Γ−1(z)=T\Gamma^{-1}(z)=T , 假设 σ(T)={λ1,⋯,λn}\sigma(T)=\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\} ，也就是说谱刚刚好是有限个点谱, 如果是一个矩阵，那么它的谱肯定是点谱。那么如果这个时候我们考虑函数 χλi\chi_{\lambda_i} ，也就是每一个点上的示性函数，在这个离散的情况下，这个函数是连续函数，所以我们可以构造 Ei=Γ−1(χλi)E_i=\Gamma^{-1}(\chi_{\lambda_i}) ,不难证明 EiE_i 是正交投影算子，而且
Tx:=∑λiEixTx:=\sum \lambda_i E_i x .
发现核心问题了吗？对于一般的 σ(T)\sigma(T),示性函数不是连续函数，也就是说Gelfand map没用了，可是投影算子是对应示性函数的，事实上 设 PP 是投影算子，那么 P2=PP^2=P ,如果它对应一个 σ(T)\sigma(T) 的函数 uu ，那么 u2(z)=u(z)u^2(z)=u(z) ,所以在每个点这个函数只能是0或者1.
为了处理一般的算子，我们需要引入 W∗W^* -算子代数 WTW_T ，本质上是 ATA_T在一个弱拓扑 下的闭包，
最大的优点是可以让 Γ\Gamma 可以覆盖示性函数从而得到
Tx:=∫λdEλTx:=\int \lambda d E_\lambda （这里也从离散和变为一般的积分）
“一般的对称算子“
首先根据上面的结论，对于任何unitary算子 UU ,因为它的谱肯定在一个圆环上，我们可以找到一个谱分解
U=∫02πeiθdFθU=\int_0^{2\pi} e^{i\theta} d F_\theta ，
然后对于任何无界的对称算子 AA ，Cayley 变换 B=A−iIA+iIB=\frac{A-i I}{A+iI} 是一个unitary算子，也就是说
B=∫02πeiθdFθB=\int_0^{2\pi} e^{i\theta} d F_\theta ,如我们引入定义 λ=−cot(θ/2),E(λ):=F(θ)\lambda=-\cot(\theta/2), E(\lambda):=F(\theta) ，那么变换可以把一个圆环拉成实数轴，这个时候
U=∫Rλ−iλ+idE(λ)U=\int_{\mathbb{R}}\frac{\lambda -i}{\lambda+i} dE(\lambda) ,
如果我们定义算子
C=∫RλdE(λ)C=\int_{\mathbb{R}} \lambda dE(\lambda) ，
可以证明 C=AC=A ，这里主要需要一些Cayley变换和对称算子的一些性质。
很惭愧我泛函学得不怎么样，没法像dhchen那样做深入浅出的分析。对我来说，谱分解就是有限维线性代数中“复正规矩阵都可以酉对角化”这个结论的无穷维推广；在无穷维Hilbert空间中，对角矩阵的类似物就是乘法算子（把每一个函数乘以一个固定的函数f给出的算子），那么谱分解定理可以表述为：对于Hilbert space H上的normal operator A（我实在不喜欢 正常算子 这个翻译。。），存在某个紧Hausdorff拓扑空间X (我不记得这个X是不是就是A的spectrum)，以及unitary equivalence ϕ:H→L2(X)\phi:H\to L^2(X) , 乘法算子 F:L2(X)→L2(X), g↦gfF:L^2(X)\to L^2(X),\ g\mapsto gf for some f∈C(X)f \in C(X) ,使得 A=ϕ−1∘F∘ϕA=\phi^{-1}\circ F\circ \phi .
这是我本科的泛函老师给出的一种比较简单的解释，实际上就是说无穷维的normal operator也是酉等价于“无穷维对角矩阵”（也就是乘法算子）的，只是你要把空间换一下。当然也可以基于谱测度或者算子代数去理解，像dhchen解释的那样，我不怎么懂泛函就不多说了。