Python实现台阶问题/斐波纳挈

在Python中实现台阶问题（也常被称作爬楼梯问题）和斐波那契数列（Fibonacci sequence）是编程中的经典问题。虽然这两个问题在表面上看起来不同，但它们之间有着紧密的联系，因为台阶问题的一种常见解法就是使用斐波那契数列。

台阶问题

假设你正在爬楼梯。需要 n 步你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

这个问题可以通过递归或动态规划来解决，使用斐波那契数列的思路。

递归解法（效率较低，因为存在大量重复计算）

def climbStairs(n: int) -> int:  if n <= 1:  return 1  elif n == 2:  return 2  else:  return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2)

动态规划解法（更高效）

def climbStairs(n: int) -> int:  if n <= 1:  return 1  dp = [0] * (n+1)  dp[1] = 1  if n >= 2:  dp[2] = 2  for i in range(3, n+1):  dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]  return dp[n]

斐波那契数列

斐波那契数列是这样一个数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...，即第一项是0，第二项是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

递归解法（同样效率较低）

def fibonacci(n: int) -> int:  if n <= 0:  return 0  elif n == 1:  return 1  else:  return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

动态规划解法（更高效）

def fibonacci(n: int) -> int:  if n <= 1:  return n  dp = [0] * (n+1)  dp[1] = 1  for i in range(2, n+1):  dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]  return dp[n]

或者，使用记忆化递归，这也是一种提高递归效率的方法：

def fibonacci_memo(n: int, memo: dict = None) -> int:  if memo is None:  memo = {0: 0, 1: 1}  if n not in memo:  memo[n] = fibonacci_memo(n-1, memo) + fibonacci_memo(n-2, memo)  return memo[n]

在Python中，对于递归解法，尤其是当n较大时，由于Python的递归深度限制（默认1000），可能无法直接计算，而动态规划或记忆化递归是更好的选择。