狄拉克函数 or 单位冲击函数

狄拉克函数（Dirac delta function），又称为单位冲击函数，是数学和物理学中常用的一个理想化的工具。它并不是一个传统意义上的函数，而是一个广义函数（distribution），可以用来表示在某一点处集中发生的瞬时变化，例如冲击力、电荷密度等。以下是对狄拉克函数的几种理解方式：

1. 基本性质

狄拉克函数 (\delta(x)) 的定义满足以下两个基本性质：

• 冲击性：在 $(x=0)$ 处，它的值是无穷大，在其他地方值为零：

  $\delta (x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{if }x\ne 0,\\ \infty & \text{if }x=0.\end{array}$

• 单位面积：狄拉克函数的积分为 1：

  ${\int }_{-\infty }^{\infty }\delta (x)dx=1.$

  这意味着虽然 $\delta (x)$ 在 $x=0$处无穷大，但其在整个数轴上的“面积”是 1。

2. 核心应用

狄拉克函数的一个核心应用是用作“采样”工具。假设 $f(x)$ 是一个连续函数，那么狄拉克函数可以用来提取 (f(x)) 在某一点 $x_0$ 的值：

${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)\delta (x-x_0)dx=f(x_0).$

这里，$\delta (x-x_0)$表示狄拉克函数集中在 $x_0$ 处。

3. 物理意义

在物理学中，狄拉克函数通常用于描述一个非常尖锐的、瞬时的物理现象。例如：

• 冲击力：一瞬间施加的力可以用狄拉克函数表示。
• 点电荷：空间中的点电荷的电荷密度可以用狄拉克函数来描述。

4. 近似表达

在实际应用中，狄拉克函数通常被视为某种极限的结果。例如，可以将狄拉克函数看作是以下函数序列的极限：

$\delta (x)={\lim }_{ϵ\to 0}\frac{1}{ϵ\sqrt{\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{{ϵ}^2}},$

或

$\delta (x)={\lim }_{ϵ\to 0}\frac{1}{\pi }\frac{ϵ}{x^2+{ϵ}^2}.$

这些函数在 $ϵ$逐渐趋向于 0 时会越来越接近狄拉克函数的理想性质。

5. 作为广义函数

在更为严格的数学框架中，狄拉克函数被视为一个作用在测试函数（通常是光滑且快速衰减的函数）上的线性泛函，即广义函数。它对于测试函数 $\varphi (x)$ 的作用是

$\delta [\varphi ]=\varphi (0).$

通过这些方面，可以更好地理解狄拉克函数在数学和物理中的应用与意义。