leetcode120. 三角形最小路径和，二维动态规划

leetcode120. 三角形最小路径和

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。
每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：
输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
2
3 4
6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：
输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

提示：
1 <= triangle.length <= 200
triangle[0].length == 1
triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
-104 <= triangle[i][j] <= 104

三角形最小路径和问题

题目分析

给定一个三角形 triangle，每个三角形条目 triangle[i][j] 代表从顶点 (0, 0) 到条目位置的最短路径和。找到一条从顶点 (0, 0) 到顶点 (n-1, n-1) 的路径，使得路径上的数字总和最小。

算法步骤

1. 初始化一个二维数组 dp，大小与 triangle 相同，用于存储从起点到每个位置的最小路径和。
2. 初始化 dp[0][0] 为 triangle[0][0]。
3. 初始化第一行，将每个位置的值设置为它自己和它上方位置的最小路径和之和。
4. 遍历 triangle 的其余部分，对于每个位置 (i, j)，将其路径和设置为它上方和左方位置路径和中的最小值加上它自己的值。
5. 返回 dp[n-1][n-1]，即从顶点 (0, 0) 到顶点 (n-1, n-1) 的最小路径和。

算法流程

具体代码

//dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])
class Solution {
public:int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {int m=triangle.size();vector<vector<int>> dp(m,vector<int>(m,0));dp[0][0]=triangle[0][0];for(int i=1;i<m;i++){for(int j=0;j<=i;j++){if(j==0) dp[i][j]=dp[i-1][j]+triangle[i][j];else if(j==i) dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+triangle[i][j];else dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1])+triangle[i][j];}}int res=INT_MAX;for(int i=0;i<m;i++){res=min(res,dp[m-1][i]);}return res;}
};

算法分析

• 时间复杂度: O(n^2)，需要遍历整个三角形一次。
• 空间复杂度: O(n^2)，需要存储整个动态规划数组 dp。
• 易错点: 在初始化第一行时，需要正确计算每个位置的路径和。

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题目	链接
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