P1009 【深基4，例7】阶乘之和
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){int n;cin>>n;long long ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){long long factor=1;for(int j=1;j<=i;j++)factor=factor*j;ans=ans+factor;}cout<<ans<<endl;
}这段代码的目的是计算从 1 到 n（包含 n）所有整数的阶乘之和。但是，随着 n 的增大，阶乘的值会迅速增长，很快就会超出 long long 类型的存储范围，导致溢出和错误的结果。比如：
当n的值超过21，就会出现溢出。
为了优化这个问题，我们可以考虑使用高精度计算库（如 GMP 或 C++17 引入的 <bit> 和 <numeric> 中的工具，尽管后者主要用于位操作和数值算法，并不直接支持大数运算），但在这里，我将展示一个更简单的优化方法：使用模运算来避免溢出（尽管这不会给出精确的阶乘和，但可以用于处理大数问题时的近似或特定场景下的计算）。
然而，对于直接计算阶乘和的问题，更实际的做法是使用一种算法来避免直接计算大数的阶乘，因为即使使用模运算，当 n 很大时，计算单个阶乘也会非常耗时。
不过，为了保持问题的简单性，并展示如何避免在 long long 范围内溢出，我们可以简单地限制 n 的大小，或者使用模运算来模拟一个“有限范围”的计算。但请注意，这不会给出原始问题的精确答案。
下面是一个使用模运算来避免溢出的示例代码（但请注意，这不会给出真实的阶乘和，只是演示如何避免溢出）：
#include <iostream>
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7; // 选择一个合适的模数来避免溢出
int main(){int n;cin>>n;long long ans=0;for(int i=1;i<=n;i++){long long factor=1;for(int j=1;j<=i;j++)factor=factor*j%MOD;ans=(ans+factor)%MOD;}cout<<ans<<endl;
}当n取21，50，结果没有溢出，如下：
选择 MOD=10 ^9 +7（即 1000000007）作为模数，在编程和算法竞赛中是一个常见的做法，其依据和优点主要包括以下几点：
- 质数性质：10 ^9 +7 是一个质数。在模运算中，使用质数作为模数可以避免一些不必要的数学性质导致的错误。例如，如果模数不是质数，那么它可能有非平凡的因子，这可能会在某些算法中引入不必要的复杂性或错误。
- 足够大：10 ^9 +7 是一个相对较大的质数，这意味着在大多数情况下，它可以避免在模运算过程中发生溢出之前，计算结果就已经达到了这个模数的上限。这对于处理大数问题特别有用，因为它允许我们在不牺牲太多精度的情况下，使用标准的整数类型（如 long long）进行计算。
- 广泛应用：由于 10 ^9 +7 的这些优点，它已经被广泛应用于各种编程竞赛和算法实现中。因此，许多算法和数据结构库都内置了对这个模数的支持，或者至少提供了容易修改以使用这个模数的接口。
- 避免负数：在某些情况下，模运算的结果可能是负数（特别是当被除数小于模数但为负数时）。然而，由于 10 ^9 +7 是一个大于所有标准整数类型能表示的最大负数的质数，因此在使用这个模数进行模运算时，我们几乎总是可以得到一个非负的结果（除非被除数是负数且绝对值非常大，但在实际应用中这种情况很少见）。
- 习惯和传统：最后，选择 10 ^9 +7 作为模数也部分地基于习惯和传统。由于它在许多算法和竞赛中都被广泛使用，因此许多程序员和算法设计者都熟悉它，并倾向于在需要模运算时使用它。
但是，请注意，这种方法仍然非常低效，因为它对于每个 i 都重新计算了阶乘。在实际应用中，我们可以使用动态规划或其他数学技巧来更有效地计算阶乘和，特别是当 n 很大时。
#include <iostream>
using namespace std;
const int MOD = 1e9 + 7; // 选择一个合适的模数来避免溢出
int main(){int n;cin>>n;long long ans=0,temp=1;for(int i=1;i<=n;i++){temp=temp*i%MOD;ans=(ans+temp)%MOD;}cout<<ans;
}对于非常大的 n，直接计算阶乘和是不切实际的，你可能需要考虑使用近似方法或查找表等策略。如果问题允许，也可以考虑使用高精度计算库来处理大数。