【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入格式

第一行包含三个正整数 $N,M,S$，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 $N-1$ 行每行包含两个正整数 $x,y$，表示 $x$ 结点和 $y$ 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 $M$ 行每行包含两个正整数 $a,b$，表示询问 $a$ 结点和 $b$ 结点的最近公共祖先。

输出格式

输出包含 $M$ 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

样例输出 #1

4
4
1
4
4

提示

对于 $30\%$ 的数据，$N\le 10$，$M\le 10$。

对于 $70\%$ 的数据，$N\le 10000$，$M\le 10000$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N,M\le 500000$，$1\le x,y,a,b\le N$，不保证 $a\ne b$。

原题

洛谷P3379——传送门

思路

预处理各个节点的$2^j$级祖先，通过倍增跳跃的方式，快速找到两个点的LCA。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;const int maxn = 5e5 + 6;vector<int> e[maxn];    // 以第i个节点为起点的有向边
int depth[maxn];        // 第i个节点的深度
int ancestor[maxn][23]; // ancestor[i][j]表示节点i的2^j级祖先
int lg[maxn];           // 预处理第i个节点的lg值void add(int x, int y) // 加有向边函数
{e[x].push_back(y);
}void dfs(int u, int fath) // dfs计算深度和祖先
{ancestor[u][0] = fath;                                    // 第1级祖先即为父亲depth[u] = depth[fath] + 1;                               // 深度为父亲深度+1for (int j = 1; j <= lg[depth[u]]; j++)                   // 计算该节点的2^j级祖先ancestor[u][j] = ancestor[ancestor[u][j - 1]][j - 1]; // 祖先的转移方程，u的2^j祖先等于u的2^(j-1)祖先的2^(j-1)祖先for (int i = 0; i < e[u].size(); i++)                     // 递归子节点{int v = e[u][i];if (fath != v)dfs(v, u);}
}int LCA(int x, int y) // 计算x和y的LCA
{if (depth[x] < depth[y]) // 让x为深度更大(或相等)的那一个swap(x, y);while (depth[x] > depth[y]) // 将x提到与y相同深度x = ancestor[x][lg[depth[x] - depth[y]] - 1];if (x == y)return x;for (int k = lg[depth[x]] - 1; k >= 0; k--) // 倍增跳跃if (ancestor[x][k] != ancestor[y][k])x = ancestor[x][k], y = ancestor[y][k];return ancestor[x][0];
}int main()
{ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int n, m, root; // 节点个数，询问个数，根节点cin >> n >> m >> root;int x, y;for (int i = 1; i <= n - 1; i++){cin >> x >> y;add(x, y);add(y, x);}for (int i = 1; i <= n; ++i)lg[i] = lg[i - 1] + (1 << lg[i - 1] == i); // 非常厉害的转移方程// 预处理节点i的2^j级祖先dfs(root, 0);// 处理询问for (int i = 1; i <= m; ++i){cin >> x >> y;cout << LCA(x, y) << '\n';}return 0;
}