计算机控制系统-达林算法验证
理论课程讲解比较乏味，也可能不在课堂讲，但自己还是得熟悉。
1 问题
开环传递函数G(s)=e^(-2s)/(2s+1),用达林算法设计数字控制器D(z)，使得系统的闭环传递函数phi(s)=e^(-2s)/(2s+1),采样周期T=1s。
2 推导
偷懒，用的deepseek回答。（如何贴答案 保持公式正确，？我是截图）
3 代码实现
3.1参数定义
%% 参数定义
T = 1; % 采样周期 (s)
L = 2; % 纯滞后时间 (s)
N = L / T; % 离散滞后步数 (N=2)
K = 1; % 增益
Tp = 2; % 被控对象时间常数 (s)
lambda = 1; % 期望闭环时间常数 (s)3.2 离散化开环传递函数
%% 离散化被控对象
Gp = tf(K, [Tp, 1], 'InputDelay', L)
Gz = c2d(Gp, T, 'zoh')Gp =1exp(-2*s) * -------2 s + 1Continuous-time transfer function.
Gz =0.3935z^(-2) * ----------z - 0.6065采样时间: 1 seconds 离散时间传递函数。
3.3 设计闭环传递函数
%% 设计期望闭环传递函数（调整lambda=1）
H_cont = tf(1, [lambda, 1], 'InputDelay', L)
Hz = c2d(H_cont, T, 'zoh')H_cont =1exp(-2*s) * -----s + 1Continuous-time transfer function.
Hz =0.6321z^(-2) * ----------z - 0.3679采样时间: 1 seconds 离散时间传递函数。
3.4 设计DZ 控制器
由于含有延迟环境，无法直接按照定义求，只能通过获得分子、分母系数来求取
%% 计算控制器（数值方法，避免符号运算）
[num_Gz, den_Gz] = tfdata(Gz, 'v');
[num_Hz, den_Hz] = tfdata(Hz, 'v');% 计算D(z) = H(z)/(G(z)(1-H(z)))
num_Dz = conv(num_Hz, den_Gz);
den_Dz = conv(den_Hz, den_Gz) - conv(num_Hz, num_Gz);
% 消除前导零系数（避免数值问题）
num_Dz = num_Dz(find(num_Dz,1):end);
den_Dz = den_Dz(find(den_Dz,1):end);Dz = tf(num_Dz, den_Dz, T)%% 显示结果
disp('修正后的控制器D(z):');
DzDz =0.6321 z - 0.3834------------------------z^2 - 0.9744 z - 0.02559采样时间: 1 seconds 离散时间传递函数。
这个与理论推导有差距
3.5 仿真
%% 步骤4: 验证闭环稳定性
% 闭环传递函数
CL = feedback(Dz*Gz, 1);
disp('闭环系统极点:');
pole(CL)% 判断是否稳定
if all(abs(pole(CL)) < 1)disp('闭环系统稳定');
elsedisp('闭环系统不稳定！');
end%% 步骤5: 仿真阶跃响应
figure;
step(CL, 20); % 仿真20秒
title('闭环系统阶跃响应');
xlabel('时间 (s)'); ylabel('幅值');
grid on;%% 步骤6: 转换为差分方程（控制器实现）
% 提取D(z)的分子分母系数
num = Dz.Numerator{1};
den = Dz.Denominator{1};% 差分方程形式:
% u(k) = a1*u(k-1) + a2*u(k-2) + ... + b0*e(k) + b1*e(k-1) + ...
a = -den(2:end); % 分母系数（去除了首项1）
b = num;disp('差分方程:');
fprintf('u(k) = ');
for i = 1:length(a)fprintf('%.4f*u(k-%d) + ', a(i), i);
end
for i = 1:length(b)if i == 1fprintf('%.4f*e(k)', b(i));elsefprintf(' + %.4f*e(k-%d)', b(i), i-1);end
end
fprintf('\n');
4 疑问和全部代码
理论计算和实际推导不一样？ 主要是z的次数，一个是z-3,一个是z-2？ 不知道计算机处理的问题在哪里？
下面是可偷懒复制的全部代码！！
% 修正后的Dahlin算法设计（解决系数过大问题）
clear; clc;%% 参数定义
T = 1; % 采样周期 (s)
L = 2; % 纯滞后时间 (s)
N = L / T; % 离散滞后步数 (N=2)
K = 1; % 增益
Tp = 2; % 被控对象时间常数 (s)
lambda = 1; % 期望闭环时间常数 (s)%% 离散化被控对象
Gp = tf(K, [Tp, 1], 'InputDelay', L)
Gz = c2d(Gp, T, 'zoh')%% 设计期望闭环传递函数（调整lambda=1）
H_cont = tf(1, [lambda, 1], 'InputDelay', L)
Hz = c2d(H_cont, T, 'zoh')%% 计算控制器（数值方法，避免符号运算）
[num_Gz, den_Gz] = tfdata(Gz, 'v');
[num_Hz, den_Hz] = tfdata(Hz, 'v');% 计算D(z) = H(z)/(G(z)(1-H(z)))
%把分子 分母通分计算
num_Dz = conv(num_Hz, den_Gz)
den_Dz = conv(den_Hz, den_Gz) - conv(num_Hz, num_Gz)% 消除前导零系数（避免数值问题）
num_Dz = num_Dz(find(num_Dz,1):end);
den_Dz = den_Dz(find(den_Dz,1):end);Dz = tf(num_Dz, den_Dz, T)%% 显示结果
disp('修正后的控制器D(z):');
Dz%% 步骤4: 验证闭环稳定性
% 闭环传递函数
CL = feedback(Dz*Gz, 1);
disp('闭环系统极点:');
pole(CL)% 判断是否稳定
if all(abs(pole(CL)) < 1)disp('闭环系统稳定');
elsedisp('闭环系统不稳定！');
end%% 步骤5: 仿真阶跃响应
figure;
step(CL, 20); % 仿真20秒
title('闭环系统阶跃响应');
xlabel('时间 (s)'); ylabel('幅值');
grid on;%% 步骤6: 转换为差分方程（控制器实现）
% 提取D(z)的分子分母系数
num = Dz.Numerator{1};
den = Dz.Denominator{1};% 差分方程形式:
% u(k) = a1*u(k-1) + a2*u(k-2) + ... + b0*e(k) + b1*e(k-1) + ...
a = -den(2:end); % 分母系数（去除了首项1）
b = num;disp('差分方程:');
fprintf('u(k) = ');
for i = 1:length(a)fprintf('%.4f*u(k-%d) + ', a(i), i);
end
for i = 1:length(b)if i == 1fprintf('%.4f*e(k)', b(i));elsefprintf(' + %.4f*e(k-%d)', b(i), i-1);end
end
fprintf('\n');