【漫话机器学习系列】132.概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）
概率质量函数（Probability Mass Function, PMF）详解
1. 概述
概率质量函数（PMF, Probability Mass Function）用于描述离散随机变量的概率分布。简单来说，它给出了随机变量取某个具体值的概率。PMF 适用于那些只能取有限个或可数无穷多个离散值的变量，例如抛硬币的结果（正面或反面）、掷骰子的点数（1-6）等。
2. 概率质量函数的数学定义
设 XXX 是一个离散随机变量，取值范围为 ，则概率质量函数定义如下：
其中：
- P(X = x) 表示随机变量 X 取值为 x 的概率。
- f(x) 代表该值的概率质量函数。
PMF 必须满足以下两个条件：
- 非负性：对于所有可能的 x，
。
- 归一化性质（所有概率之和为 1）：
其中 S 是随机变量 X 的所有可能取值集合。
3. 概率质量函数的直观解释
概率质量函数可以用柱状图或条形图来表示。例如，在图片中，我们看到一个离散随机变量的概率分布，横轴是可能取值，纵轴是概率，用不同高度的柱子来表示每个取值的概率大小。
4. 例子
(1) 掷骰子的 PMF
假设掷一个公正的 6 面骰子，随机变量 X 表示掷出的点数。由于骰子是公正的，每个点数的概率相等，PMF 如下：
如果用柱状图表示，每个点数x（1 到 6）都会对应一个相等高度的柱子。
(2) 抛硬币的 PMF
设 X 为一次抛硬币时出现正面的次数，则：
这也是一个典型的离散概率分布。
5. PMF 与其他概率分布的关系
- 概率密度函数（PDF, Probability Density Function）：PMF 适用于离散随机变量，而 PDF 适用于连续随机变量。对于连续变量，例如人的身高或温度，我们不能用 PMF，而需要用概率密度函数。
- 累积分布函数（CDF, Cumulative Distribution Function）：PMF 只给出某个具体取值的概率，而 CDF 是从小到大累积概率，定义为：
CDF 适用于 PMF 和 PDF，但 PMF 直接给出每个取值的独立概率，而 CDF 累加这些概率。
6. PMF 的实际应用
概率质量函数在很多现实场景中都有重要作用：
- 机器学习和数据科学：离散数据建模，如分类问题、朴素贝叶斯分类器等。
- 金融建模：股票价格涨跌的离散状态概率。
- 质量控制：工厂产品的合格与不合格概率建模。
- 自然语言处理（NLP）：分析单词在文本中的出现概率。
7. 结论
概率质量函数是描述离散随机变量概率分布的重要工具，广泛应用于统计学、数据科学、金融等领域。理解 PMF 有助于更深入地研究概率论，并在实际问题中构建有效的概率模型。
图示解析 在图片中：
- 标题用中文和英文分别写出了“概率质量函数”（Probability Mass Function）。
- 文字说明指出 PMF 是用于描述离散随机变量的概率分布。
- 右侧的柱状图表示了某个离散随机变量的概率分布，其中每个可能取值对应一个概率高度。
- 画面风格手绘，增强了可读性和直观理解。
希望这篇文章能帮助你全面理解概率质量函数（PMF）！