【学Rust写CAD】5 三维转换矩阵解析及应用示例

三维转换矩阵是指将一个三维空间中的坐标系转换为另一个三维空间中的坐标系所需要的矩阵。在计算机图形学、计算机视觉等领域，三维转换矩阵是非常重要的基础知识。完整的三维转换矩阵为一个4x4的方阵。
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ dx& xx& yx& zx\\ dy& xy& yy& zy\\ dz& xz& yz& zz\end{array}\right]$$
以下是对三维转换矩阵的详细解释：

一、基本概念

在三维空间中，通常使用笛卡尔坐标系来描述一个点的位置。一个点在笛卡尔坐标系中可以用三个数值表示，分别表示在x、y、z轴上的位置。而不同的坐标系之间可能存在旋转、平移等变换，这时就需要使用三维转换矩阵来描述一个点在不同坐标系下的位置。

二、类型与变换

三维转换矩阵可以描述不同类型的空间变换，主要包括以下几种：

1. 平移变换：平移变换是指将一个点或物体在三维空间中沿某个方向移动一定的距离。平移变换矩阵是一个4x4的方阵，其中左下角是3x3的单位矩阵，表示没有旋转和缩放，而左上角是平移向量，表示在x、y、z轴上的平移距离。
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ dx& 1& 0& 0\\ dy& 0& 1& 0\\ dz& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
2. 旋转变换：旋转变换是指将一个点或物体绕某个轴旋转一定的角度。旋转变换矩阵也是一个4x4的方阵，但左下角部分不再是单位矩阵，而是表示旋转的矩阵。根据旋转轴的不同，旋转变换矩阵也会有所不同。例如，绕z轴旋转的矩阵为：
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos\theta & -sin\theta & 0\\ 0& sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
   其中，θ为旋转角度。
3. 缩放变换：缩放变换是指将一个点或物体在三维空间中沿某个方向或所有方向进行缩放。缩放变换矩阵也是一个4x4的方阵，左下角部分表示缩放比例。
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& sx& 0& 0\\ 0& 0& sy& 0\\ 0& 0& 0& sz\end{array}\right]$$
4. 组合变换：组合变换是指将多种变换（如平移、旋转、缩放等）组合在一起形成一个复杂的变换。组合变换矩阵可以通过将多个变换矩阵相乘得到。
   $$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ dx& xx& yx& zx\\ dy& xy& yy& zy\\ dz& xz& yz& zz\end{array}\right]$$

三、应用与实例

三维转换矩阵在计算机图形学、计算机视觉等领域有着广泛的应用。例如，在计算机图形学中，可以使用三维转换矩阵对3D场景中的物体进行变换，如平移、旋转、缩放等，使得虚拟场景能够在屏幕上以真实视角显示。在机器人学中，可以使用三维转换矩阵来描述机器人的位姿和运动轨迹。
以下是一个简单的实例：假设有一个点P(x, y, z) = (1, 2, 3)，想让它围绕z轴旋转45度。可以使用上述绕z轴旋转的矩阵进行计算，得到旋转后的点P’(x’, y’, z’)。通过矩阵乘法运算，可以得到新的坐标值。即
$$\left[\begin{array}{c}1\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos45& -sin45& 0\\ 0& sin45& cos45& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}1\\ x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{\sqrt{2}}{2}x-\frac{\sqrt{2}}{2}y\\ \frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y\\ z\end{array}\right]$$
四、总结
三维转换矩阵是描述三维空间中点或物体变换的重要工具。它可以通过矩阵运算实现平移、旋转、缩放等多种变换，并且可以将多种变换组合在一起形成复杂的变换。在计算机图形学、计算机视觉等领域，三维转换矩阵有着广泛的应用和重要的价值。