【数据结构篇】~二叉树（堆）

二叉树

1.树

树的概念与结构​
树是一种非线性的数据结构，它是由 n（n>=0） 个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做
树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
• 除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm ，其中每一个集合
Ti(1 <= i <= m) 又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有 0 个或多个后继。因此，树是递归定义的。
树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
非树形结构：
• 子树是不相交的（如果存在相交就是图了，图以后得课程会有讲解）
• 除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点
• 一棵N个结点的树有N-1条边​

2.树的组成

父结点/双亲结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：A是B的父
结点
子结点/孩子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：B是A的孩子结点
结点的度：一个结点有几个孩子，他的度就是多少；比如A的度为6，F的度为2，K的度为0​
树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度； 如上图：树的度为 6 ​
叶子结点/终端结点：度为 0 的结点称为叶结点； 如上图： B、C、H、I… 等结点为叶结点​
分支结点/非终端结点：度不为 0 的结点； 如上图： D、E、F、G… 等结点为分支结点​
兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)； 如上图： B、C 是兄弟结点​
结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的子结点为第 2 层，以此类推；
树的高度或深度：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为 4 ​
结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先
路径：一条从树中任意节点出发，沿父节点-子节点连接，达到任意节点的序列；比如A到Q的路径为：
A-E-J-Q；H到Q的路径H-D-A-E-J-Q
子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是A的子孙​
森林：由 m（m>0） 棵互不相交的树的集合称为森林；

3.二叉树

💡 二叉树性质
根据满二叉树的特点可知：
1）若规定根结点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第i层上最多有​2 个结点​
i−1
2）若规定根结点的层数为 1 ，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是​2 − ​
h 1
3）若规定根结点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度​ ( log
以2为底， n+1 为对数)​

4.堆

1.向上调整算法

💡 向上调整算法
• 先将元素插入到堆的末尾,即最后一个孩子之后​
• 插入之后如果堆的性质遭到破坏，将新插入结点顺着其双双亲往上调整到合适位置即可

2.向下调整算法

💡 向下调整算法
• 将堆顶元素与堆中最后一个元素进行交换
• 删除堆中最后一个元素
• 将堆顶元素向下调整到满足堆特性为止

3.堆排序

4.topk问题

源码

void createNdate()
{// 造数据int n = 100000;srand(time(0));const char* file = "data1.txt";FILE* fin = fopen(file, "w");if (fin == NULL){perror("fopen error");return;}for (int i = 0; i < n; ++i){int x = (rand() + i) % 1000000;//(范围0~999999)fprintf(fin, "%d\n", x);}fclose(fin);
}void top_k()//（找n个数据中前k个最大的（建小堆））
{createNdate();//1.先读文件//2.创建k大的数组//3.用这个数组建堆//4.读剩下的n-k个数据与堆顶数据比较，// 大的与堆顶数据交换，交换后再调整，直到把剩下的n-k个数据遍历完//5.关闭文件int k = 0;printf("请输入 k：");scanf("%d",&k);//第一步const char* file = "data1.txt";FILE* fout = fopen(file, "r");if (fout == NULL){perror("fopen error");return;}//第二步int* minheap =(int*)malloc(sizeof(int)*k);if (minheap == NULL){perror("malloc fail!");return;}//第三步（取数据建堆）for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &minheap[i]);}for (int i = (k - 1 - 1)/2;i>=0;i--){adjustdown(minheap,k,i);}//第四步int x = 0;//先将取出的数据存到xwhile (fscanf(fout, "%d", &x) != EOF){if (x > minheap[0]){minheap[0] = x;adjustdown(minheap, k, 0);}}for (int i = 0; i < k; i++){printf("%d ", minheap[i]);}fclose(fout);}