【解析几何笔记】3.向量分解定理

3. 向量分解定理

3.1 线性组合

• 有$n$个向量${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$，对应有$n$个实数${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$，可以用这$n$个实数对应地与这$n$个向量做数乘，会得到一组$n$个新的向量：
  $${\lambda }_1{\alpha }_1,{\lambda }_2{\alpha }_2,...,{\lambda }_n{\alpha }_n$$
  将它们从头加到尾得到一个新的向量：
  $$\beta ={\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2+...+{\lambda }_n{\alpha }_n$$
  称$\beta$可由${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$分解，且$\beta$可以写成${\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_n$的线性组合。
  【例】
  

这个平面里的任意一个向量都可以由$e_1$和$e_2$分解

3.2 向量分解定理

【定理1.1】（向量分解定理）
（1）如果三个向量$\alpha ,\beta ,\gamma$共面，并且$\alpha ,\beta$不平行，则$\gamma$可以对$\alpha ,\beta$分解，并且分解方式唯一。

（2）如果$\alpha ,\beta ,\gamma$不共面，则任何向量$\delta$都可以对$\alpha ,\beta ,\gamma$分解，并且分解方式唯一。

【证】（1）先证$\alpha ,\beta ,\gamma$共面的情况
取点$O$使得，$\overrightarrow{OA}=\alpha ,\overrightarrow{OB}=\beta ,\overrightarrow{OC}=\gamma$

过C点做OB的平行线，交OA于D点，存在$\mu \in \mathbb{R}$，使得$\overrightarrow{DC}=\mu \beta$，存在$\lambda \in \mathbb{R}$，使得$\overrightarrow{OD}=\lambda \alpha$，于是由三角形法则知，$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}=\lambda \alpha +\mu \beta =\overrightarrow{OC}=\gamma$
即$\gamma =\lambda \alpha +\mu \beta$
现在证此分解为唯一的，用反证法：
若$\exists {\lambda }^{\prime },{\mu }^{\prime }$使得${\lambda }^{\prime }\alpha +{\mu }^{\prime }\beta =\gamma$
则$0=\gamma -\gamma =\lambda \alpha -{\lambda }^{\prime }\alpha +\mu \beta -{\mu }^{\prime }\beta =(\lambda -{\lambda }^{\prime })\alpha +(\mu -{\mu }^{\prime })\beta$
不妨设$\lambda \ne {\lambda }^{\prime }$（为了保证两种线性组合是不一样的线性组合）
则$\alpha =\frac{(\mu -{\mu }^{\prime })\beta }{\lambda -{\lambda }^{\prime }}$
此时$\alpha$与$\beta$平行，矛盾
则$\gamma$可以对$\alpha ,\beta$分解，并且分解方式唯一。
（2）证$\alpha ,\beta ,\gamma$不共面的情况（自己想的，欢迎数院大神批评指正）

过D点做OA的平行线DE，使得E点落在平面OAB上，则$\overrightarrow{ED}=k\gamma ,k\in \mathbb{R}$，由于$\overrightarrow{OE}$与$\overrightarrow{OA}=\alpha$和$\overrightarrow{OB}=\beta$共面且$\alpha$和$\beta$不平行，则$\overrightarrow{OE}=q\alpha +p\beta ,q,p\in \mathbb{R}$，$\delta =\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{ED}=q\alpha +p\beta +k\gamma$
然后证分解方式唯一，用反证法
假设分解方式不唯一，即$\exists q^{\prime },p^{\prime },k^{\prime }\in \mathbb{R}$使得$\delta =q^{\prime }\alpha +p^{\prime }\beta +k^{\prime }\gamma$
则$0=\delta -\delta =q\alpha -q^{\prime }\alpha +p\beta -p^{\prime }\beta +k\gamma -k^{\prime }\gamma =(q-q^{\prime })\alpha +(p-p^{\prime })\beta +(k-k^{\prime })\gamma$
为了保证分解方式不唯一，不妨设$k\ne k^{\prime }$
则$\gamma =\frac{(q-q^{\prime })\alpha +(p-p^{\prime })\beta }{k-k^{\prime }}$，则说明$\gamma$可由$\alpha$和$\beta$分解，则$\gamma$和$\alpha$和$\beta$共面，与$\alpha ,\beta ,\gamma$不共面矛盾
则命题得证。

3.3 向量分解定理的推论

$\alpha ,\beta ,\gamma$共面$\iff \exists$不全为0的三个实数$\lambda ,\mu ,\delta \in \mathbb{R}$，使得$\lambda \alpha +\mu \beta +\delta \gamma =0$
（换句话说就是0向量对三个共面向量的分解方式不唯一）
【证】先证充分性，用反证法
假设
若$\exists$不全为0的三个实数$\lambda ,\mu ,\delta \in \mathbb{R}$，$\lambda \alpha +\mu \beta +\delta \gamma =0$，使得$\alpha ,\beta ,\gamma$不共面。
$\alpha ,\beta ,\gamma$不共面，由向量分解定理知，$\vec{0}$一定可以由$\alpha ,\beta ,\gamma$分解，且分解方法唯一，即$0\cdot \alpha +0\cdot \beta +0\cdot \gamma =\vec{0}$
这与$\exists$不全为0的三个实数$\lambda ,\mu ,\delta \in \mathbb{R}$，$\lambda \alpha +\mu \beta +\delta \gamma =0$（分解方法不唯一）矛盾，则充分性成立。
再证必要性：
由于$\alpha ,\beta ,\gamma$共面
（1）若有一个0向量，不妨设$\alpha =\vec{0}$，则$1\cdot \alpha +0\cdot \beta +0\cdot \gamma =0$
（2）若$\alpha ,\beta ,\gamma \ne \vec{0}$
若有两个向量是平行的，不妨设$\alpha //\beta$，即$\exists \lambda \in \mathbb{R}$且$\lambda \ne 0$，使得$\beta =\lambda \alpha$，则$-\lambda \alpha +\lambda \beta +0\cdot \gamma =0$
（3）若$\alpha ,\beta ,\gamma$两两不平行，由于$\alpha ,\beta ,\gamma$共面，由向量分解定理知$\exists \lambda ,\mu \in \mathbb{R}$使得$\gamma =\lambda \alpha +\mu \beta$
则$\lambda \alpha +\mu \beta -\gamma =\vec{0}$
不全为0的实数找到了，必要性成立。

3.4 三点共线

公式打得太累了，还得画图，下次就多一些手写内容了