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gurobi中引入松弛变量和剩余变量的用法

news 2025/11/26 12:02:40

文章目录

1. 松弛变量：用于“≤”不等式约束
- 数学表达式
2. 剩余变量：用于“≥”不等式约束
- 数学表达式
3. 目标函数中的松弛变量
- 数学表达式
4. Gurobi中的实现
- 对于“≤”不等式的松弛变量：
- 对于“≥”不等式的剩余变量：
5. 总结

在Gurobi中，松弛变量（Slack Variables）和剩余变量（Surplus Variables）广泛用于将不等式约束转换为等式约束，或者在目标函数中调整问题的可行性与最优性。例如，在线性规划（LP）中，某些求解方法（如单纯形法）要求所有的约束条件都是等式，此时可以通过引入松弛变量将不等式约束转换为等式。==
单纯性法数学原理和思想可以参考【运筹学】单纯形法总结 ( 单纯形法原理 | 单纯形法流程 | 单纯形表 | 计算检验数 | 最优解判定 | 入基变量 | 出基变量 | 方程组同解变换 ) ★★★
对于标准线性规划问题，具体数学表达和变换情况可以参考【运筹学】线性规划数学模型标准形式 ( 标准形式 | 目标函数转化 | 决策变量转化 | 约束方程转化 | 固定转化顺序 | 标准形式转化实例 ) ★★

1. 松弛变量：用于“≤”不等式约束

将“≤”类型的约束转换为等式约束，此时，松弛变量 s 表示约束的剩余“空间”，即在达到等式 b 时，当前的变量组合还差多少。

数学表达式

假设有一个不等式约束：
$a_1x_1 + a_2x_2 \leq b$
可以引入一个松弛变量 $\geq 0$ ，使其转换为等式：
$a_1x_1 + a_2x_2 + s = b$

2. 剩余变量：用于“≥”不等式约束

剩余变量类似于松弛变量，但用于将“≥”类型的约束转换为等式约束。剩余变量表示的是超过所需量的部分。

数学表达式

假设有一个不等式约束：
$a_1x_1 + a_2x_2 \geq b$
可以引入一个剩余变量 $\geq 0$ ，将其转换为等式：
$a_1x_1 + a_2x_2 - s = b$
这里，剩余变量 $s$ 表示超过要求的量。

3. 目标函数中的松弛变量

在某些优化问题中，可能会允许某些约束条件被“违反”，但需要引入惩罚措施。这时，松弛变量可以用于表示这种违约程度，并将其加入到目标函数中。

数学表达式

假设我们允许约束 $a_1x_1 + a_2x_2 \leq b$ 被“违反”，可以引入一个松弛变量 $\geq 0$ ：
$a_1x_1 + a_2x_2 + s = b$
然后将松弛变量 $s$ 的惩罚项加入到目标函数中。例如，目标是最小化总成本：
$\text{Minimize } Z = c_1x_1 + c_2x_2 + p \cdot s$
其中， $p$ 是松弛变量的惩罚系数，表示违反约束的代价。当问题的解空间非常紧张，或者为了确保可行解的存在时，我们可以允许约束条件的适度放松。此时通过目标函数中的惩罚项来权衡违约程度与最优解的关系。

4. Gurobi中的实现

无论是松弛变量还是剩余变量，它们在Gurobi中的实现方式是类似的。以下是具体的代码示例：

对于“≤”不等式的松弛变量：

from gurobipy import Model, GRB# 创建模型
m = Model()# 添加变量
x1 = m.addVar(name="x1")
x2 = m.addVar(name="x2")
s = m.addVar(name="slack", lb=0)  # 松弛变量# 添加约束：a1*x1 + a2*x2 <= b  =>  a1*x1 + a2*x2 + s = b
m.addConstr(2*x1 + 3*x2 + s == 10)# 设置目标函数
m.setObjective(x1 + 2*x2 + 1000*s, GRB.MINIMIZE)# 求解
m.optimize()# 输出结果
for v in m.getVars():print('%s %g' % (v.varName, v.x))print('Obj: %g' % m.objVal)

这段Gurobi代码表示一个线性优化问题。将其对应的数学表达式写为一个标准的线性规划问题。该数学问题可以总结为以下形式：
$\begin{align*} \text{Minimize } & \quad Z = x_1 + 2x_2 + 1000s \\ \text{Subject to } & \quad 2x_1 + 3x_2 + s = 10 \\ & \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0, \quad s \geq 0 \end{align*}$
其中， $x_1$ 、 $x_2$ 是决策变量，(s) 是松弛变量。决策变量 (x_1) 和 (x_2) 也默认是非负的（在Gurobi中默认情况下变量是非负的）， (s) 是松弛变量，它必须是非负的。在这个问题中，松弛变量 (s) 用来将原本的“≤”约束转换为等式，同时它在目标函数中具有较大的惩罚系数 (1000)，表明我们希望尽量减少 (s) 的值。
在这里插入图片描述

对于“≥”不等式的剩余变量：

from gurobipy import Model, GRB# 创建模型
m = Model()# 添加变量
x1 = m.addVar(name="x1")
x2 = m.addVar(name="x2")
s = m.addVar(name="surplus", lb=0)  # 剩余变量# 添加约束：a1*x1 + a2*x2 >= b  =>  a1*x1 + a2*x2 - s = b
m.addConstr(2*x1 + 3*x2 - s == 10)# 设置目标函数
m.setObjective(x1 + 2*x2 + 1000*s, GRB.MINIMIZE)# 求解
m.optimize()# 输出结果
for v in m.getVars():print('%s %g' % (v.varName, v.x))print('Obj: %g' % m.objVal)

Gurobi代码表示了一个线性优化问题，使用了剩余变量（Surplus Variable）来处理“≥”类型的不等式约束。我们可以将其对应的数学表达式写为一个标准的线性规划问题。该数学问题可以总结为以下形式：
$\begin{align*} \text{Minimize } & \quad Z = x_1 + 2x_2 + 1000s \\ \text{Subject to } & \quad 2x_1 + 3x_2 - s = 10 \\ & \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0, \quad s \geq 0 \end{align*}$

其中， $x_1$ 、 $x_2$ 是决策变量，(s) 是松弛变量。决策变量 (x_1) 和 (x_2) 也默认是非负的（在Gurobi中默认情况下变量是非负的）， (s) 是松弛变量，它必须是非负的。在约束条件中，松弛变量用于将“≤”约束转换为等式，剩余变量用于将“≥”约束转换为等式。在这个问题中，剩余变量 (s) 用来将原本的“≥”约束转换为等式。同时，(s) 在目标函数中具有较大的惩罚系数 (1000)，表明我们希望尽量减少 (s) 的值，即希望尽可能满足或超过原本的“≥”约束。在目标函数中，某些优化问题中，可能会允许某些约束条件被“违反”，但需要引入惩罚措施。这时，松弛变量可以用于表示这种违约程度，并将其加入到目标函数中。