2024河南萌新联赛第五场 A日历游戏（SG函数）

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SG函数讲解

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思路：

两个人对弈，然后还不满足一些常见的博弈模型，直接上SG函数。简单总结一下：

博弈论里的局面，表示的是某个人在做出决策前面临的一个情形，必胜与必败态指的就是这个人在某个局面下做出最优选择能否获胜。

显然游戏结束时是必败态，因为这时候面临局面的人还没有做出决策就比赛结束了， 说明对方在上一回合做出决定后就已经获胜了。必胜态必定存在一个必败态，必败态后面全为必胜态，因为我们肯定要把必败态留给对方，如果能做到，那么当前状态就是必胜态，因此必胜态后面一定有一个必败态。同理，如果做不到，说明当前状态无论怎么选，都一定会把必胜态留给对手， 当前状态就是必败态，因此必败态后面全为必胜态。

$mex(S)$ 运算表示在一个自然数集合 $S$ 中取出未被包含在 $S$ 中的最小的自然数，比如 m e x ( { 1 , 2 , 3 } ) = 0 , m e x ( { 0 , 1 , 3 } ) = 2 mex(\{1,2,3\})=0,mex(\{0,1,3\})=2 mex({1,2,3})=0,mex({0,1,3})=2。SG函数的函数值是将后继所有局面的SG函数值做 $mex$ 运算得到的 。必败态SG函数值为 $0$，必胜态SG函数非 $0$。对于同时进行的多个局面（也就是同时面临多个局面，每次只能选一个局面进行操作，最后要求所有局面都结束才算游戏结束），SG值等于这几个局面的SG函数值做异或运算（证明和 $NIM$ 游戏有关）。

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在这个题里，可以从后向前递推SG函数值，也可以从前往后记忆化搜索，后者稍微好写一点。在dfs的时候注意优先月份向后搜索，这样很快就能搜到结束状态并返回，从而释放空间，要不然会爆空间。

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <vector>
using namespace std;vector<int> month{0,31,28,31,30,31,30,31,31,30,31,30,31};bool vis[30][20][40];
int win[30][20][40];
int SG(int y,int m,int d){if(y==24 && m==8 && d==1)return 0;//必败局面 if(vis[y][m][d])return win[y][m][d];else vis[y][m][d]=true;vector<int> mon=month;set<int> sg;if(y%4==0)mon[2]++;//	printf("%d %d %d\n",y,m,d);if(!(y==24 && m==7 && d>1) && d<=mon[m%12+1]){sg.insert(SG(y+(m==12),m%12+1,d));}if(d+1<=mon[m])sg.insert(SG(y,m,d+1));else if(m+1<=12)sg.insert(SG(y,m+1,1));else sg.insert(SG(y+1,1,1));for(int i=0;;i++)if(sg.find(i)==sg.end())return win[y][m][d]=i;
}int T,x,y,z;int main(){SG(0,1,1);cin>>T;while(T--){cin>>x>>y>>z;x-=2000;if(SG(x,y,z)==0)cout<<"NO\n";else cout<<"YES\n";}return 0;
}