【数学建模】趣味数模问题——舰艇追击问题

问题描述

• 某缉私舰位于走私船以东 d = 10 km，走私船以匀速 u = 8 km/h 向北沿直线行驶。
• 缉私舰立即以速度 v= 12 km/h 追赶。
• 缉私舰使用雷达进行跟踪，保持瞬时速度方向始终指向走私船。
• 求解缉私舰的追逐路线和追上走私船所需的时间。

方法

1. 理论求解：使用微分方程建模进行求解。
2. 计算机模拟：使用Matlab进行仿真。

模型建立与分析

1. 使用微分方程建模进行求解

2. 计算机模拟

dt = 0.01;
n = 151;
d = 10;
u = 8;
v = 12;
T = d*v/(v*v-u*u); % 理论时间
x1 = zeros(n, 1); y1 = zeros(n, 1);
x2 = zeros(n, 1); y2 = zeros(n, 1);
x1(1) = 0; y1(1) = 0; % 走私船开始位置
x2(1) = d; y2(1) = 0; % 缉私舰开始位置% 仿真曲线
for j = 1:n-1x1(j+1) = 0;  % 走私船横坐标y1(j+1) = (j+1)*dt*u; % 走私船纵坐标ct = (x1(j) - x2(j)) / sqrt((x1(j) - x2(j))^2 + (y1(j) - y2(j))^2);st = (y1(j) - y2(j)) / sqrt((x1(j) - x2(j))^2 + (y1(j) - y2(j))^2);x2(j+1) = x2(j) + v*dt*ct;  % 缉私舰横坐标y2(j+1) = y2(j) + v*dt*st;  % 缉私舰纵坐标     
end% 理论曲线
x = d:-0.01:0;
k = u/v;
y = d/2 * ((x/d).^(1+k)/(1+k) - (x/d).^(1-k)/(1-k)) + d*k/(1-k^2);
plot(x1, y1, 'r', x2, y2, '-r', x, y, 'b');