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揭秘A/B测试：如何用Z统计量和t统计量揭示成功背后的统计学奥秘

news 2025/5/7 4:31:58

来源：Gumm, B. (2012). Metrics and statistics behind A/B testing. In D. Siroker, P. Koomen & C. Harshman (Eds.), A/B testing (pp. 180-193). John Wiley & Sons, Inc. https://go.exlibris.link/GCpjV5sN

A/B测试和统计学基础

A/B测试是一种在线实验，用来比较两个版本的网站或应用（比如，A版和B版），看看哪个表现更好。这通常用于优化用户体验或提高转化率。

1. 置信区间（Confidence Intervals）

置信区间是一种统计工具，用来估计一个总体参数（比如，拥有学士学位的旧金山居民的比例）的可能范围。这个范围基于样本数据计算得出，并且我们有一定的信心认为真实的总体参数就在这个区间内。

点估计（Point Estimate）：一个单一的数值，用来估计总体参数。比如，如果你随机调查了1000个旧金山居民，发现509个人有学士学位，那么点估计就是50.9%。
区间估计（Interval Estimate）：不是一个单一的数，而是一个数值范围。这个范围告诉我们，我们有多大的信心认为真实的总体参数在这个区间内。比如，95%的置信区间意味着如果我们重复实验很多次，95%的情况下计算出的区间会包含真实的总体参数。

2. 置信水平（Confidence Levels）

置信水平（比如，95%）告诉我们置信区间包含真实总体参数的概率。这并不是说有95%的概率总体参数就在这次实验计算出的区间内，而是如果我们做很多这样的实验，95%的置信区间会包含真实的总体参数。

A/B测试中的统计测试

在A/B测试中，我们通常比较两个版本的性能，比如两个网页的转化率。

Z统计量和t统计量，这两种统计量在A/B测试中常用来确定结果是否具有统计显著性。

概念

Z统计量（Z Statistic）用于比较比例

比例或百分比的测试统计量：如果你的指标是一个比例（比如，转化率），你会使用Z统计量来比较两个比例之间的差异是否显著。这个统计量考虑了样本的比例和样本大小。

t统计量（t Statistic）用于比较平均值

平均值的测试统计量：如果你的指标是一个平均值（比如，用户在网站上停留的平均时间），你会使用t统计量来比较两个平均值之间的差异是否显著。这个统计量考虑了样本的平均值、样本的方差和样本大小。

如何计算

1) Z统计量（Z Statistic）

Z统计量主要用于比较两个比例（比如，转化率、点击率）是否有显著差异。它假设样本量足够大，且数据呈正态分布。

Z统计量的计算公式：

$Z = \frac{p_B - p_A}{\sqrt{p(1-p) \left(\frac{1}{n_B} + \frac{1}{n_A}\right)}}$

其中：

( $p_B$ ) 和 ( $p_A$ ) 分别是两个版本（比如，A版和B版）的样本比例。
( $n_B$ ) 和 ( $n_A$ ) 是两个版本的样本大小。
( $p$ ) 是合并后的比例，计算公式为 $p = \frac{X_B + X_A}{n_B + n_A}$ ，其中 ( $X_B$ ) 和 ( $X_A$ ) 分别是两个版本中的成功次数（比如，转化次数）。

如何解读Z统计量：

Z统计量的值告诉我们两个比例之间的差异有多大。
通常，如果Z统计量的绝对值大于1.96（对应95%置信水平），我们认为两个比例之间存在显著差异。

Z统计量的例子

假设你是一个网站设计师，想要通过改变网站的注册按钮颜色来增加用户注册的数量。你进行了一个A/B测试：

A版本（原注册按钮）：1000个用户中有100个注册了，转化率是10%。
B版本（新注册按钮）：1000个用户中有120个注册了，转化率是12%。

你想知道这个变化是否真的有效，还是仅仅因为偶然。

计算Z统计量：

合并比例 ( p )：

$p = \frac{100 + 120}{1000 + 1000} = \frac{220}{2000} = 0.11$
Z统计量：

$Z = \frac{0.12 - 0.10}{\sqrt{0.11 \times (1 - 0.11) \left(\frac{1}{1000} + \frac{1}{1000}\right)}}$

$Z = \frac{0.02}{\sqrt{0.11 \times 0.89 \times 0.001}}$

$Z = \frac{0.02}{\sqrt{0.0000979}}$

$Z \approx \frac{0.02}{0.00989}$

$Z \approx 2.02$

如果Z统计量的绝对值大于1.96（对应95%置信水平），我们可以认为两个版本的转化率存在显著差异。在这个例子中，Z统计量是2.02，所以我们可以说新注册按钮的转化率显著高于原注册按钮。

2) t统计量（t Statistic）

t统计量主要用于比较两个平均值（比如，平均销售额、平均停留时间）是否有显著差异。与Z统计量不同，t统计量适用于样本量较小（通常小于30）或总体标准差未知的情况。

t统计量的计算公式：

$t = \frac{\bar{x}_B - \bar{x}_A}{s_p \sqrt{\frac{1}{n_B} + \frac{1}{n_A}}}$

其中：

( $\bar{x}_B$ ) 和 ( $\bar{x}_A$ ) 分别是两个版本的样本平均值。
( $n_B$ ) 和 ( $n_A$ ) 是两个版本的样本大小。
( $s_p$ ) 是合并后的样本标准差，计算公式为：

$s_p = \sqrt{\frac{(n_B - 1)s_B^2 + (n_A - 1)s_A^2}{n_B + n_A - 2}}$

( $s_B^2$ ) 和 ( $s_A^2$ ) 分别是两个版本的样本方差。

如何解读t统计量：

t统计量的值告诉我们两个平均值之间的差异有多大。
通常，我们需要查看t分布表或使用统计软件来确定t统计量的临界值，以判断差异是否显著。这取决于所需的置信水平和自由度（ $df = n_B + n_A - 2$ ）。

t统计量的例子

假设你是一个在线课程的提供商，你想要通过改变课程介绍视频的长度来增加用户的购买意愿。你进行了一个A/B测试：

A版本（原视频长度）：50个用户的平均观看时间是5分钟。
B版本（新视频长度）：50个用户的平均观看时间是7分钟。

你想知道这个变化是否真的有效。

计算t统计量：

首先计算两个版本的方差和标准差（这里假设方差分别是 ( $s_A^2$ ) 和 ( $s_B^2$ )，标准差分别是 ( $s_A$ ) 和 ( $s_B$ )）。
合并标准差 ( $s_p$ )：

$s_p = \sqrt{\frac{(50 - 1)s_A^2 + (50 - 1)s_B^2}{50 + 50 - 2}}$
t统计量：

$t = \frac{7 - 5}{s_p \sqrt{\frac{1}{50} + \frac{1}{50}}}$

$t = \frac{2}{s_p \sqrt{0.02}}$

假设 ( $s_p$ ) 计算出来是2分钟，那么：

$t = \frac{2}{2 \times 0.1414}$

$t = \frac{2}{0.2828}$

$t \approx 7.07$

如果t统计量的绝对值大于t分布表中的临界值（取决于所需的置信水平和自由度），我们可以认为两个版本的平均观看时间存在显著差异。在这个例子中，t统计量远大于2（常见的临界值），所以我们可以说新视频长度的平均观看时间显著高于原视频长度。

3) 小结

在A/B测试中，我们通常根据Z统计量或t统计量的值来计算p值。p值是一个概率值，表示观察到的差异完全由随机因素引起的概率。如果p值小于0.05（或其他预设的显著性水平），我们就认为结果具有统计显著性，即差异不太可能由随机因素引起。

4) 生活中的例子

想象一下，你是一个餐厅老板，想要测试两种不同的菜单设计（A和B）来提高顾客的消费额。你随机给一半的顾客A菜单，另一半B菜单。几周后，你发现用B菜单的顾客平均消费比用A菜单的顾客高5美元。

现在，你想知道这个5美元的差异是真的因为菜单B设计得更好，还是仅仅因为偶然的巧合，比如某天顾客特别多或者某天的菜品特别受欢迎。

这时候，Z统计量和t统计量就派上用场了，它们就像是一个“探测器”，用来帮助你判断这个差异是真实的还是偶然的。

观察差异：你观察到的5美元就是A菜单和B菜单之间的差异。
标准误差：这就像是一个“误差范围”，它告诉你因为偶然因素，两个菜单的平均消费额可能会有多大的波动。如果波动很小，那么你更有信心说两个菜单的平均消费额是不同的。
Z统计量或t统计量：这就像是一个“放大镜”，它把你观察到的5美元差异放大，然后除以“误差范围”，这样你就能看到这个差异在统计上有多大。如果这个统计量很大，那就意味着这个差异不太可能是偶然发生的。
p值：这就像是一个“概率尺”，它告诉你如果两个菜单实际上没有任何区别（即，差异完全是偶然的），那么你观察到的这个5美元差异（或更大的差异）发生的概率是多少。如果这个概率很小（比如小于5%），那就意味着偶然发生这种情况的可能性很小，所以你可以说这个差异是统计显著的，很可能是真的。

所以，使用Z统计量或t统计量来计算p值的逻辑就是：通过一个统计上的“探测器”和“放大镜”来确定你观察到的差异是真的还是假的，然后使用“概率尺”来量化这个判断的可信度。如果p值很小，那你就可以有信心地说，你的新菜单B确实帮助顾客花得更多，这不太可能仅仅是偶然的巧合。

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http://www.mrgr.cn/news/54020.html