详解STL之 AVL tree --- “额外平衡条件的”二叉搜索树

1.AVL的概念

• AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是一颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树： 它的左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是一颗高度平衡搜索二叉树，通过控制高度差去控制平衡。 其平衡条件的建立是为了确保整棵树的深度为O(logN)。

• 思考一下为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更 好的平衡吗？画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比 如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法作为高度差是0。

• AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似， 高度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可以控制在O(logN)  ，相比二叉搜索树有了本质的提升。

自主实现时，添加的概念： 

• AVL树实现这里我们引入一个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有一个平衡因子，任何结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡，就像一个风向标一样。（方便实现） 

2.AVL树的实现

(1) AVL树的结构

#include<iostream>
using namespace std;template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance factorAVLTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public://...
private:Node * _root = nullptr;
};

(2) AVL树的插入

① AVL树插入一个值的大致过程

1、 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入。

2、 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新 从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中，最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可 以停止了，具体情况我们下面再详细分析。

3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束。

4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树 的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。

 如图左侧所示的是一个AVL tree，插入了节点11后（图右），灰色节点违反了AVL tree的平衡条件。由于只有“插入点到根节点”路径上的各节点可能改变平衡状态。因此，只要调整其中最深的那个节点，便可以使整棵树中心获得平衡。

② 平衡因子的更新

更新原则：

•  平衡因子 = 右子树高度-左子树高度

•  只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。

• 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因⼦++，新增结点在 parent的左子树，parent平衡因子--。

•  parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止的条件：

• 更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因子变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前 parent子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变，不会 影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。

•  更新后parent的平衡因子等于1 或 -1，更新中parent的平衡因子变化为0->1 或者 0->-1，说 明更新前parent子树两边一样高，新增的插入结点后，parent所在的子树一边高一边低，parent所 在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响arent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上 更新。

• 更新后parent的平衡因子等于2 或 -2，更新中parent的平衡因子变化为1->2 或者 -1->-2，说 明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高 了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的目标有两个：1、把 parent子树旋转平衡。2、降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不 需要继续往上更新，插入结束。

③ 插入结点及更新平衡因子的代码实现

bool insert(const pair<K, V> kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(kv);if (kv.first > parent->_kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 更新平衡因子while (parent){// 当前节点的平衡因子if (parent->_left == cur)parent->_bf--;elseparent->_bf++;// 检查是否向上更新if (parent->_bf == 0){// 已经平衡break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){// 从0变来的，要向上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){// 不平衡了，要旋转处理break;}else{assert(false);}}return true;
}

(3) 旋转

①旋转的原则

1、保持搜索树的规则

2、让旋转的树从不平衡变平衡，其次降低旋转树的高度。 旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

说明：下面的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这里是为了方便讲解，实际中是什 么值都可以，只要大小关系符合搜索树的规则即可。

② 右单旋

本图1展示的是10为根的树，有 a/b/c抽象为三棵高度为h的子树 (h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树， 是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/ 图5进行了详细描述。

•  在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为5 < b子树的值 < 10， 将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根 ，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原 则。如果插入之前10是整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

③ 右单旋实现代码

void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (pparent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == pparent->_left)pparent->_left = subL;elsepparent->_right = subL;subL->_parent = pparent;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}

④ 左单旋

• 本图展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树， 是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上面左旋类 似。

• 在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平 衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往 左边旋转，控制两棵树的平衡。

• 旋转核心步骤，因为10 < b子树的值 < 15，将 b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵树新的根 ，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转 原则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

⑤ 左单旋实现代码

void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* pparent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (pparent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == pparent->_left)pparent->_left = subR;elsepparent->_right = subR;subR->_parent = pparent;}subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}

⑥ 左右双旋

通过上图可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边左 ，但是插入在b子树中，10为根的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高 ，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一个左单旋，以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树 这棵树就平衡了。

上图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度为h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进一步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子， 引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因子为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引 发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋 转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。

 

⑦ 左右双旋代码实现

void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);// 更新平衡因子if (bf == 0){subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;subLR->_bf = 0;}elseassert(false);}

⑧ 右左双旋

• 跟左右双旋类似，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的 细节进一步展开为12和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲15为旋转点进行右单 旋，右单旋需要动b树中的右子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通 过观察12的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

• 场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。

• 场景2：h >= 1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。

• 场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

⑨ 右左双旋代码实现

void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);// 更新平衡因子if (bf == 0){subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;parent->_bf = -1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;parent->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}elseassert(false);}

(4) AVL树的查找

用二叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)

Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{return cur;}}return nullptr;
}

(5)AVL树平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右子树高度差的的程序进行反向验证，同时检查一下结点 的平衡因子更新是否出现了问题

int _Height(Node* root){if (root == nullptr){return 0;}int LHight = _Height(root->_left);int RHight = _Height(root->_right);return LHight > RHight ? LHight + 1 : RHight + 1;}int _Size(Node* root){if (root == nullptr)return 0;return _Size(root->_left) + _Size(root->_right) + 1;}bool _IsBalanceTree(Node* root){if (root == nullptr)return true;int LHeight = _Height(root->_left);int RHight = _Height(root->_right);int dif = RHight - LHeight;// 高度差校对平衡因子// 如果计算出的平衡因子与root的平衡因子不相等，或者// root平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树if (abs(dif) > 1)  {cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}if (root->_bf != dif){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;return false;}// 向下查看左右子树是否为平衡树return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}

测试代码：

void TestAVLTree1()
{AVLTree<int, int> t;// 常规的测试用例//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };// 测右单//int a[] = { 9,8,7,6,5,4,3,2,1};// 测左单//int a[] = { 5,6,7,8,9,10,11 };// 测左右双//int a[] = {18,14,20,12,16,15};// 测右左双//int a[] = {10,15,9,12,16,11};// 特殊的带有双旋场景的测试用例int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.insert({ e, e });}t.InOrder();cout << t.Height() << endl;cout << t.Size() << endl;cout << t.Find(15) << endl;cout << t.IsBalanceTree() << endl;
}// 插入一堆随机值，测试平衡，顺便测试一下高度和性能等
void TestAVLTree2()
{const int N = 1000000;vector<int> v;v.reserve(N);srand(time(0));for (int i = 0; i < N; i++){v.push_back(rand() + i);}size_t begin2 = clock();AVLTree<int, int> t;for (auto e : v){t.insert(make_pair(e, e));}size_t end2 = clock();cout << "Insert:" << end2 - begin2 << endl;cout << t.IsBalanceTree() << endl;cout << "Height:" << t.Height() << endl;cout << "Size:" << t.Size() << endl;size_t begin1 = clock();// 确定在的值for (auto e : v){t.Find(e);}随机值//for (size_t i = 0; i < N; i++)//{//	t.Find((rand() + i));//}size_t end1 = clock();cout << "Find:" << end1 - begin1 << endl;
}int main()
{TestAVLTree2();//TestAVLTree1();return 0;
}