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伯努利分布（Bernoulli distribution）的两次成功之间间隔次数的分布

news 2025/7/9 17:59:36

伯努利分布（Bernoulli distribution）是一种特殊的二项式分布，即0-1分布。百科上已经说明了这种分布，即P(x=k)=p^k(1-p)^{1-k}，其中k \in \{0,1\}。其数学期望为p，方差为p(1-p)。详细说明见0—1分布_百度百科

本文进一步说明对于这类分布的事件，两次出现1之间的间隔的分布。

对于泊松过程，两次事件之间的概率符合指数分布。概率论基础 - 14 - 指数分布-腾讯云开发者社区-腾讯云

但对于符合伯努利分布的事件，例如抛硬币实验，在一次抛出正面后，下一次抛出正面前抛出了反面的次数的分布也符合指数分布，但和泊松过程的指数分布不完全相同。

概率分布

假定伯努利分布的事件成功出现概率是p，则在两次成功的实验之间，有g次不成功的概率为

P(g)={p}(1-p)^g

提示：一次不成功的概率是1-p，所以g次不成功，之后一次成功的概率就如上式所示。

期望值

对于这个分布，其期望值为

E(g)=0p(1-p)+1p(1-p)^1+2p(1-p)^2+...+kp(1-p)^k

=p(1-p)+p(1-p)^2+p(1-p)^2+...+(1-p)^k+(1-p)^k+...+(1-p)^k+...={p(1-p)\over 1-(1-p)}+{p(1-p)^2\over 1-(1-p)}+...+{p(1-p)^k\over 1-(1-p)}+...

={p\over 1-(1-p)}((1-p)+(1-p)^2+...)={1-p\over 1-(1-p)}={1-p\over p}（1）

方差

计算方差前，先计算

E(g^2)=\sum_{g=0}^{+\infty}p(1-p)^gg^2=1^2p(1-p)+2^2p(1-p)^2+3^2p(1-p)^3+...

=p(1-p){1\over 1-(1-p)}+(2^2-1)p(1-p)^2{1\over 1-(1-p)}+(3^2-(2^2-1)-1)p(1-p)^3{1\over 1-(1-p)}+(4^2-(3^2-(2^2-1)-1)-(2^2-1)-1)p(1-p)^4{1\over 1-(1-p)}+...

系数比较复杂。但发现规律，它符合1，3，5，7，也就是说第k项是2k-1

下面用数学归纳法证明一下

已知k=1时系数是1

k=k_0时，若系数是k_0-1

那么k=k_0+1时，系数为(k_0+1)^2-(2k_0-1)-(2k_0-3)-(2k_0-5)-...-1

=(k_0+1)^2-{(1+2k_0-1)k_0\over 2}=(k_0+1)^2-k_0^2=2k_0+1=2(k_0+1)-1，符合规律。

所以E(g^2)=p(1-p){1\over 1-(1-p)}+3p(1-p)^2{1\over 1-(1-p)}+5p(1-p)^3{1\over 1-(1-p)}+...（2）

=(1-p)+3(1-p)^2+5(1-p)^3+...

={1-p\over1-(1-p)}+(3-1){(1-p)^2\over 1-(1-p)}+(5-(3-1)-1){(1-p)^3\over 1-(1-p)}+(7-(5-(3-1)-1)-(3-1)-1){(1-p)^4\over 1-(1-p)}

系数还是复杂。但发现规律，除了第一项，其它项的系数均为2。

下面用数学归纳法证明一下

已知k=2时系数是2

k=k_0时，若系数是2

那么k=k_0+1时，系数为2(k_0+1)-1-2(k_0-1)-1=2，符合规律

（说明，前面说过式（2）中系数符合2k-1。另外，从k=2到k=k_0，共有k_0-1个2）

所以E(g^2)={1-p+2(1-p)^2+2(1-p)^3+...\over 1-(1-p)}={1-p+2{(1-p)^2\over 1-(1-p)}\over 1-(1-p)}

={1-p+2{(1-p)^2\over p}\over p}={p^2-3p+2\over p^2}（3）

根据式（1）和式（3）

Var(g)=E(g^2)-E^2(g)

={p^2-3p+2\over p^2}-({1-p\over p})^2={1-p\over p^2}


http://www.mrgr.cn/news/49540.html

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