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AVL树实现

news 2025/7/12 10:15:05

我们前面已经说过了搜索二叉树，和map，set的用法，我们通过学习可以知道，搜索二叉树的实现还是有一些问题的，比如果所有值都在一条线上，拿遍历的效率就低；也就是搜索二叉树不好控制，这里引进AVL树，在二叉搜索树之后，优化而成的；

在之后会在学习红黑树，那才是map set的真正的底层；

AVL的简介

AVL树得名于它的发明者G. M. Adelson-Velsky和E. M. Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。
AVL树是最先发明的是平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AV树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。
AVL树实现这⾥我们引入一个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1，AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡。
AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在，那么增删查改的效率也可以控制在O(logN) （虽然但是，也是接近，但是计算机的计算速度是很快的相差的拿几百几千也是可以忽略为 logN），相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。

思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法作为⾼度差是0。

AVL树的实现

AVL树的结构

template<class K, class V>struct AVLTreeNode {pair<K, V> _kv;AVLTreeNode<K, V>* _left = nullptr;AVLTreeNode<K, V>* _right = nullptr;// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到AVLTreeNode<K, V>* _parent = nullptr;int _bf = 0;     // balance factorAVLTreeNode(pair<K, V> kv):_left(),_right(),_parent(),_bf(),_kv(kv){}};
template<class K, class V>class AVLTree {typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
……………………public:Node*_root;
}

AVL树的插⼊（平衡因子的方法）

大致过程：

平衡因子 = 右子树⾼度 - 左子树⾼度
只有子树⾼度变化才会影响当前结点平衡因子。
插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因⼦++，新增结点parent的左子树，parent平衡因⼦--
parent所在子树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停止条件：

更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。
更新后parent的平衡因⼦等于1 或 -1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响arent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
更新后parent的平衡因⼦等于2 或 -2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 -1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理。
旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。（旋转后，parent 平衡因子是0）

过程演示

更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的⼦树已经不平衡，需要旋转处理

更新到中间结点，3为根的⼦树⾼度不变，不会影响上⼀层，更新结束：

最坏更新到根停⽌：

插⼊结点及更新平衡因⼦的代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv){if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);return true;}Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;while (cur){if (cur->_kv.second > kv.second){parent = cur;cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.second < kv.second){parent = cur;cur = cur->_right;}else {return false;}}cur = new Node(kv);if (parent->_kv.second > cur->_kv.second){parent->_left = cur;}else if (parent->_kv.second < cur->_kv.second){parent->_right = cur;}else {return false;}// 链接父亲cur->_parent = parent;//控制平衡//改变平衡因子while (parent){if (parent->_right == cur){parent->_bf++;}else if (parent->_left == cur){parent->_bf--;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == -2 || parent->_bf == 2){if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RotateR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RotateL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RotateLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RotateRL(parent);}else {assert(false);}break;}else {assert(false);}}return true;}

会看到。插入出现了旋转，那么旋转怎么实现呢？

旋转

旋转的原则

保持搜索树的规则
让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度
旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

右单旋

下面的图片展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。

这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，但都属于这种形态

解读：

在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核心步骤：

因为5 < b⼦树的值 < 10，
将b变成10的左⼦树，10变成5的右⼦树，
5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，

控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10是整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

右单旋代码实现

		void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* pParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent){pParent->_left = subL;}else{pParent->_right = subL;}subL->_parent = pParent;}subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}

左单旋

下面图展⽰的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵⾼度为h的⼦树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的⼦树的根。

这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表⽰，他代表了所有左单旋的场景，实际左单旋形态有很多种，具体跟上⾯右旋类似这里就不在多说

解读：

在a⼦树中插⼊⼀个新结点，导致a⼦树的⾼度从h变成h+1，不断向上更新平衡因⼦，导致10的平衡因⼦从1变成2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太⾼了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核心步骤：

因为10 < b⼦树的值 < 15，
将b变成10的右⼦树，10变成15的左⼦树，
15变成这棵树新的根，

符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转

原则。如果插⼊之前10是整棵树的⼀个局部⼦树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。

左单旋代码实现

		void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parentParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subR;}else{parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}

左右双旋

下面的两个图可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。
右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边⾼，但是对于5是右边高，需要⽤两次旋转才能解决，

以5为旋转点进⾏⼀个左单旋
以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

上面两个图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b的子树的细节进一步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，
因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察上图的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。
h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。

具体过程

左右双旋代码实现

		void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == -1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 1;}else if (bf == 1){subLR->_bf = 0;subL->_bf = -1;parent->_bf = 0;}else if (bf == 0){subLR->_bf = 0;subL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

右左双旋

先把左右双旋，了解明白那么右左双旋就很好明白了！！！！！

跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树。

因为：

我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单旋
右单旋需要动b树中的右⼦树。

b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。

h >= 1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
h >= 1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
h == 0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。

右左双旋代码实现

void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

AVL树的查找

那⼆叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为 O(logN)
比较十分接近于完全二叉树；

		Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else {return cur;}}return nullptr;}

AVL树平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因⼦更新是否出现了问题。

注意：
不能检查节点的 bf 是否大于-2 小于 2；毕竟这和自己该自己的卷子差不多；要用算的左子树高度减右子树高度和 bf 对比；

AVL树的删除

想要了解的同学可参考：《殷⼈昆数据结构：⽤⾯向对象⽅法与C++语⾔描述》中讲解。

这里就不介绍了0；

		int Height(){return _Height(_root);}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}bool IsBalanceTree(){return _IsBalanceTree(_root);}private:bool _IsBalanceTree(Node* root){// 空树也是AVL树if (nullptr == root)return true;// 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的⾼度差int leftHeight = _Height(root->_left);int rightHeight = _Height(root->_right);int dif = rightHeight - leftHeight;if (dif != root->_bf){cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << dif << ":" << root->_bf << endl;return false;}if (abs(dif) >= 2){cout << root->_kv.first << "高度差异常" << endl;return false;}return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);}void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr)return;_InOrder(root->_left);cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << ":" << root->_bf << endl;_InOrder(root->_right);}int _Height(Node* root){if (root == nullptr)return 0;int HeightL = _Height(root->_left);int HeightR = _Height(root->_right);return HeightL > HeightR ? HeightL + 1 : HeightR + 1;}

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http://www.mrgr.cn/news/49403.html