现代数字信号处理I-P2概率论学习笔记
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1. 三要素及关系
2. 期望和方差的定义及基本性质
2.1 期望（均值）定义：
在实际工作中很难获得随机变量的分布或者概率密度，用矩描述随机变量
2.2 期望基本性质：
2.3 方差定义
2.4 凸函数下期望不等式
3. 均方意义下确定参数对随机变量的最优估计
4. 两组随机变量函数映射下的最佳逼近
4.1 条件期望的引入
4.2 条件期望的性质
a. 条件期望仍然是随机变量
b. 条件期望保留了期望的线性性质
c. 条件期望的期望，是无条件期望
d. 条件期望的提出性
关于条件期望计算的一个例子：
4.3 均方意义下，利用条件期望获得一个随机变量对另外一个随机变量的最佳估计
4.4 一个随机变量对另外一个随机变量的最佳估计结论
5. 参数化模型下的最优估计
5.1 参数化模型和非参数化模型
5.2 频率学派参数化模型的最优估计
5.3 方差和偏差的Tradeoff
5.4 两种估计量的简单对比
5.5 方差与样本方差
6. 条件方差
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1. 三要素及关系
数据（data）
模型（model）
决策（Decision）
统计：由数据总结模型
概率：给定模型做决策，模型属于先验知识
仿真：由模型产生数据，蒙特卡洛，适用于真实数据很难获得的场景
大数据：由大量数据直接做决策，此处可能由于大量数据而无法收敛到一个可靠模型
2. 期望和方差的定义及基本性质
2.1 期望（均值）定义：
在实际工作中很难获得随机变量的分布或者概率密度，用矩描述随机变量
期望是随机变量的一阶矩，是一个数。
物理中表示刚体的重心，用一个点表示一个物体。
2.2 期望基本性质：
期望的基本性质恒成立。
2.3 方差定义
如果均值可以描述随机变量的中心未知，那么方差描述的是随机变量的散度（Dispersion）
2.4 凸函数下期望不等式
一般情况，非线性函数下期望的函数和函数的期望不相等：
对于凸函数，存在
进一步：
因此：
简单解释，凸函数图像类似：
凸函数具有性质：二阶导数大于等于0，存在任意a点，使得所有的x满足
是与
有关的线性函数。
当X是随机变量，两边取期望：
此时，取
，因此存在：
简单证明完毕。
3. 均方意义下确定参数对随机变量的最优估计
虑一组数据采样后得到的随机变量
，现在我们需要采用一些方法去逼近该随机变量。
常用的方法，可以认为该随机变量来自于对一个确定数值的采样，因此用一个常数
去尝试逼近。
在开始探讨方法之前，需要先定义逼近方法的评估手段，最常用的是比较两种数据的距离，一般我们可以采用均方误差来表示：
由于开根号在正数据域上不影响原始函数的单调性，因此可以直接去掉开根号展开优化，因此上述问题可以描述为：寻找一个待估计的常数
，使得
到
的距离最小，用数学语言描述为：
为求上述最小距离对应的
，一种简便的方法是可以直接对原始函数求导，并令导数为0求得：
得到：
因此，得到此时：
换句话说，期望就是在均方距离定一下，对随机变量的固定值最佳逼近。另外，方差此时就是最佳逼近下的误差，或者也称为残差：
4. 两组随机变量函数映射下的最佳逼近
4.1 条件期望的引入
上述问题进一步延申，如果存在两种不同的随机数据X
和Y
在统计信号处理领域，我们希望构建某种模型/函数
后，完成对
产生一种映射，使得：
上述属于问题变成需要寻找某个函数g，使得距离最小。这是在函数空间中寻找最优函数。属于泛函优化，比较困难，需要引入新的工具：条件期望
4.2 条件期望的性质
a. 条件期望仍然是随机变量
可以认为消除了关于X的随机特性，但条件Y的随机性却是保留的，因此是以Y有关的随机变量
上式消除了X的随机特性，但是关于Y的随机变量
b. 条件期望保留了期望的线性性质
c. 条件期望的期望，是无条件期望
形式化证明过程：
是和
有关的随机变量，因此取期望需要乘
的概率密度函数
，再积分：
代入
的定义本身：
积分合并，并交换顺序：
根据联合概率密度定义：
因此：
根据边缘概率密度定义：
因此，最终：
d. 条件期望的提出性
条件期望中存在Y的因子，可以提出：本质上算X的期望，此时条件参数Y的随机性暂时消失，此时与Y相关的都是确定性的数据：
关于条件期望计算的一个例子：
如果
是独立同分布的：
那么
如果此时n如果也是随机性，即：求和的个数也具有随机性，可以采用条件期望计算，此时需要假设N与
独立：
4.3 均方意义下，利用条件期望获得一个随机变量对另外一个随机变量的最佳估计
此时回到上述问题，即：
思路是将后面的
暂时变成确定性的数，此时沿用上述结论，
得到
的最优估计应该就是
，但由于
此时属于条件，因此此时的最优估计应该是
，即：
根据条件期望的期望性质，得到：
此时，也就得到了
的最优估计，即：
上述的过程有点草率，下面进入严格证明：
均方意义下，一个随机变量对另外一个随机变量进行逼近，最优逼近就是条件期望：
如果上式中交叉项为0，就可以直接得到上述结论，即：
因此，下面的重点寻求证明
上式中除了
之外，其他都是关于
的随机变量，因此，再次利用：
计算条件期望：
上式最后一般用到了在对X求期望时
不存在与X有关的随机变量，此时由于：
最终：
因此，最有逼近为：
4.4 一个随机变量对另外一个随机变量的最佳估计结论
经管上述结果比较完美，但在实际工作中，由于条件期望非常难求，因此需要兼顾好算和性能优异两个指标，寻求其他的估计方法。
5. 参数化模型下的最优估计
5.1 参数化模型和非参数化模型
统计信号处理的具体工作：
获得一批采样数据：
希望通过上述数据，建立模型Model，模型一般非两类：参数化模型和非参数化模型
参数化模型：对随机数据的分布有具体认识，即知道数据服从什么分布，如：
但是分布中的参数
未知。
例如，对应高斯分布：
非参数化模型：近年来，在机器学习中越来越流行，例如聚类Clustering Classification，关心的是数据分几类，但对具体的分布参数可以不感兴趣。
在统计信号处理中，我们希望构建一个有采集数据到待估计参数的映射函数：
该映射函数，可以称为是Estimator，对应机器学习中称为Feature，在统计学习中称为Feature Extraction。
5.2 频率学派参数化模型的最优估计
在频率学派的统计学范畴，我们认为待估计的参数
尽管未知，但是确定的参数。
在贝叶斯派中，未知参数认为也是随机的，将在后续贝叶斯估计中展开介绍。
在确定性参数假设下，统计信号处理需要寻找：
根据刚刚的推导，最优估计应该是：
但由于
的确定性的参数，因此没有随机性：
上述过程尽管说明了
就是 
本身，但是没有给用户提供任何映射的函数，因此解决不了实际问题。
5.3 方差和偏差的Tradeoff
重新观察估计方差：
上式中
，
都是确定性参数，因此交叉项为0：
因此：
上式将估计的均方误差分为了两项，即：方差+偏差
随机误差对应方差Variance，系统误差对应的是偏差Bias。
实际的估计问题中，系统误差大一点没有关系，因为该偏差可以通过校准进行纠正。
换句话说：
大一点没有关系，因为里面由
贡献的偏差是可以通过系统校准进行有效识别并消除
因此我们需要尽量减小随机误差
这就是在统计中需要考虑Tradeoff Bias-Variance。
5.4 两种估计量的简单对比
既然最优估计的证明过程没有给出实际可操作的映射函数，那么我们需要自己构建估计的具体映射。
例如采样一个直流信号的电压：
其中真值是A
构造一种估计：
该估计也是无偏的：
但：
因此该估计
经过无偏，但是估计的方差与噪声方差一致。
我们构造另外一个估计：
显然，该估计也是无偏的：
上式中，用到了：
其中
是确定性的常数。
另外，在
是不相关的假定下，上式中：
因此：
对比
和
的两种估计，尽管都是无偏估计，但是
估计的方差要小于
，这也是多次采样去平均的意义。
另外，当
时，
，该特性称为估计的Consistent相合估计。
5.5 方差与样本方差
在常规的实验中，我们一般采用如下两个公式处理数据：
数据平均的效果刚刚已经展现，
此时可以发现，样本方差的计算定义为：
其中分母不是
而是
，本质上
是在估计方差，而除
是确保该估计是无偏的。
如果在上述估计中，如果知道带估计量的真值
，那么：
这样才是无偏的，但是实际中，我们不知道
的真值，因此用样本平均替代
替代
，此时如果要保证估计的无偏性，那么需要除
，此时用
替代 
计算的方差有，也称为是样本方差，下面是证明过程，我们计算：
其中用到了
因此，上式为：
假定当
独立同分布，那么：
因此：
代入：
而由于：
因此：
也就是：
即
是
方差的无偏估计。
6. 条件方差
基于上述已推导的结论，我们知道条件期望：
那么我们同样定义条件方差：
此时存在公式：
证明过程：
而上式中，
和
都不存在随机变量X，因此：
因此：
其中：
而：
因此：
证明结束。