动态规划篇-代码随想录算法训练营第三十六天l 279.完全平方数，139.单词拆分，多重背包问题
279.完全平方数
题目链接：. - 力扣（LeetCode）
讲解视频：
换汤不换药！| LeetCode：279.完全平方数
题目描述：
给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
示例 1：
输入：n = 12 输出：3 解释：12 = 4 + 4 + 4
解题思路：
完全背包问题变形
1. 状态表示：
dp[i] 表示：和为 i 的完全平⽅数的最少数量。
2. 状态转移⽅程：
对于 dp[i] ，可以根据小于等于 i 的所有完全平⽅数 x 进⾏划分：
- x = 1 时，最⼩数量为： 1 + dp[i - 1] ；
- x = 4 时，最⼩数量为： 1 + dp[i - 4] ......⼀直枚举到 x <= i 为⽌。
为了⽅便枚举完全平⽅数，我们采⽤下⾯的策略： for(int j = 1; j * j <= i; j++)综上所述，状态转移⽅程为：dp[i] = min(dp[i], dp[i - j * j] + 1)
3. 初始化：
当 n = 0 的时候，没法拆分，结果为 0 ；当 n = 1 的时候，显然为 1 。
4. 填表顺序：
从左往右。
5. 返回值：
根据题意，返回 dp[n] 的值。
代码：
class Solution {
public:const int INF = 0x3f3f3f3f;int numSquares(int n) {vector<int> dp(n+1,INF);dp[0] = 0;for(int i = 1; i*i <= n; i++)for(int j = i*i; j <= n; j++)dp[j] = min(dp[j],dp[j-i*i]+1);return dp[n];}
};139.单词拆分
题目链接：. - 力扣（LeetCode）
讲解视频：
你的背包如何装满？| LeetCode：139.单词拆分
题目描述：
给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。如果可以利用字典中出现的一个或多个单词拼接出 s 则返回 true。
注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。
示例 1：
输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"] 输出: true 解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以由 "leet" 和 "code" 拼接成。
解题思路：
1. 状态表示：
对于线性 dp ，我们可以⽤「经验 + 题⽬要求」来定义状态表⽰：
- 以某个位置为结尾；
- 以某个位置为起点。
这⾥我们选择⽐较常⽤的⽅式，以某个位置为结尾，结合题⽬要求，定义⼀个状态表⽰：dp[i] 表示： [0, i] 区间内的字符串，能否被字典中的单词拼接⽽成。
2. 状态转移⽅程：
对于 dp[i] ，为了确定当前的字符串能否由字典⾥⾯的单词构成，根据最后⼀个单词的起始位置 j ，我们可以将其分解为前后两部分：
- 前⾯⼀部分 [0, j - 1] 区间的字符串；
- 后⾯⼀部分 [j, i] 区间的字符串。其中前⾯部分我们可以在 dp[j - 1] 中找到答案，后⾯部分的⼦串可以在字典⾥⾯找到。
因此，我们得出⼀个结论：当我们在从 0 ~ i 枚举 j 的时候，只要 dp[j - 1] = true并且后⾯部分的⼦串 s.substr(j, i - j + 1) 能够在字典中找到，那么 dp[i] =true 。
3. 初始化：
可以在最前⾯加上⼀个「辅助结点」，帮助我们初始化。使⽤这种技巧要注意两个点：
- 辅助结点⾥⾯的值要「保证后续填表是正确的」；
- 「下标的映射关系」。
在本题中，最前⾯加上⼀个格⼦，并且让 dp[0] = true ，可以理解为空串能够拼接⽽成。其中为了⽅便处理下标的映射关系，我们可以将字符串前⾯加上⼀个占位符 s = ' ' + s ，这样就没有下标的映射关系的问题了，同时还能处理「空串」的情况。
4. 填表顺序：
显⽽易⻅，填表顺序「从左往右」。
5. 返回值：
由「状态表⽰」可得：返回 dp[n] 位置的布尔值。
代码：
class Solution {
public:bool wordBreak(string s, vector<string>& wordDict) {unordered_set<string> st;for(auto x : wordDict) st.insert(x);int n = s.size();vector<bool> dp(n+1);dp[0] = true;s = " " + s;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j <= i; j++){if(dp[j-1] && st.count(s.substr(j,i-j+1))){dp[i] = true;break;}}return dp[n];}
};多重背包问题
题目链接：56. 携带矿石资源（第八期模拟笔试）
题目描述：
你是一名宇航员，即将前往一个遥远的行星。在这个行星上，有许多不同类型的矿石资源，每种矿石都有不同的重要性和价值。你需要选择哪些矿石带回地球，但你的宇航舱有一定的容量限制。
给定一个宇航舱，最大容量为 C。现在有 N 种不同类型的矿石，每种矿石有一个重量 w[i]，一个价值 v[i]，以及最多 k[i] 个可用。不同类型的矿石在地球上的市场价值不同。你需要计算如何在不超过宇航舱容量的情况下，最大化你所能获取的总价值。
解题思路：
在01背包问题基础上加一个for循环遍历一个每种商品的数量。
代码：
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;int main()
{int space, n;cin >> space >> n;vector<int> weight(n+1);vector<int> value(n+1);vector<int> nums(n+1);for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> weight[i];for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> value[i];for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> nums[i];vector<int> dp(space+1);for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = space; j >= weight[i]; j--)for(int k = 1; k <= nums[i] && j >= k * weight[i]; k++)dp[j] = max(dp[j], dp[j-k*weight[i]]+k*value[i]);cout << dp[space] <<endl;return 0;
}