格雷编码

n 位格雷码序列 是一个由 2n 个整数组成的序列，其中：

• 每个整数都在范围 [0, 2n - 1] 内（含 0 和 2n - 1）
• 第一个整数是 0
• 一个整数在序列中出现 不超过一次
• 每对 相邻 整数的二进制表示 恰好一位不同 ，且
• 第一个 和 最后一个 整数的二进制表示 恰好一位不同

给你一个整数 n ，返回任一有效的 n 位格雷码序列 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：[0,1,3,2]
解释：
[0,1,3,2] 的二进制表示是 [00,01,11,10] 。
- 00 和 01 有一位不同
- 01 和 11 有一位不同
- 11 和 10 有一位不同
- 10 和 00 有一位不同
[0,2,3,1] 也是一个有效的格雷码序列，其二进制表示是 [00,10,11,01] 。
- 00 和 10 有一位不同
- 10 和 11 有一位不同
- 11 和 01 有一位不同
- 01 和 00 有一位不同

示例 2：

输入：n = 1
输出：[0,1]

提示：

• 1 <= n <= 16

回溯法

class Solution {
public:bool backtrack(int n, int i, vector<bool> &visited, vector<int> &ans) {if (i == 1 << n) {return __builtin_popcount(ans.front() ^ ans.back()) == 1;}for (int j = 0; j < n; j++) {int k = ans.back() ^ (1 << j);if (!visited[k]) {visited[k] = true;ans.push_back(k);if (backtrack(n, i + 1, visited, ans)) {return true;}ans.pop_back();visited[k] = false;}}return false;}vector<int> grayCode(int n) {vector<int> ans;vector<bool> visited(1 << n);ans.push_back(0);visited[0] = true;backtrack(n, 1, visited, ans);return ans;}
};

算法逻辑

1. 初始化：

   • 在 grayCode 函数中，初始化 ans 向量并添加第一个元素 0，表示 Gray Code 序列从 0 开始。
   • visited 向量用来跟踪哪些数字已经被使用，初始时只有 0 被标记为已访问。

2. 回溯生成：

   • backtrack 函数尝试构建 Gray Code 序列，每次递归尝试改变当前序列最后一个元素的一个位（从低位到高位），生成新的数字。
   • 如果生成的新数字未被访问过，它将被加入到 ans 中，并继续递归尝试生成下一个数字。
   • 如果从某个状态出发无法完成整个序列，将进行回溯（撤销最近的添加并标记为未访问）。

3. 终止条件：

   • 当 ans 的长度达到 1 << n（即 2^n），检查序列的首尾元素是否仅有一位差异，如果是，则成功生成了一个循环的 Gray Code 序列，返回 true。
   • 如果循环结束仍未找到合适的解，则返回 false。

特性和优势

• 循环性：这个实现确保生成的 Gray Code 序列首尾相连，形成一个闭环。
• 效率：虽然这是一个回溯算法，通过有效的位操作和状态跟踪，它能够相对高效地找到解决方案。
• 灵活性：这种方法可以灵活地处理不同长度的 Gray Code 生成，只需改变参数 n。

使用场景

• 数字系统设计：在数字逻辑设计和通信中，Gray Code 能减少误码和误差。
• 编码理论：用于错误检测和校正码的设计。

这段代码是一个典型的回溯应用，展示了如何结合位操作和递归逻辑解决复杂的算法问题。

公式法

class Solution {
public:vector<int> grayCode(int n) {vector<int> result(1 << n);for (int i = 0; i < result.size(); i++) {result[i] = i ^ (i >> 1);}return result;}
};