746. 使用最小花费爬楼梯

746. 使用最小花费爬楼梯

746. 使用最小花费爬楼梯

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。

• 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。 总花费为 15 。

示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。

• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 6 。

提示：

• 2 <= cost.length <= 1000
• 0 <= cost[i] <= 999

思路

题目中说 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯” 也就是相当于 跳到 下标 0 或者 下标 1 是不花费的， 从 下标 0 或 下标1 开始跳就要花费体力了。

1.确定dp数组以及下标的含义
使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。

dp[i]的定义：到达第i台阶所需最小花费为dp[i]。

对于dp数组的定义，大家一定要清晰！

2.确定递推公式
因为一次可以跳一个或者两个台阶，所以可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

• dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

• dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？

一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])

3.dp数组如何初始化
看一下递归公式，dp[i]由dp[i - 1]，dp[i - 2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]和dp[1]推出。

那么 dp[0] 应该是多少呢？ 根据dp数组的定义，到达第0台阶所花费的最小体力为dp[0]，那么有同学可能想，那dp[0] 应该是 cost[0]，例如 cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] 的话，dp[0] 就是 cost[0] 应该是1。

题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。

所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0

4.确定遍历顺序
最后一步，递归公式有了，初始化有了，如何遍历呢？

本题的遍历顺序其实比较简单，简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。

因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1],dp[i-2]推出，所以是从前到后构造dp数组就可以了。

但是稍稍有点难度的动态规划，其遍历顺序并不容易确定下来。 例如：01背包，都知道两个for循环，一个for遍历物品，嵌套一个for遍历背包容量，那么为什么不是一个for遍历背包容量，嵌套一个for遍历物品呢？ 以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒序呢？

这些都与遍历顺序息息相关。当然背包问题后续都会重点讲解的！

5.举例推导dp数组
拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：

如果大家代码写出来有问题，就把dp数组打印出来，看看和如上推导的是不是一样的。

以上分析完毕，整体Go代码如下：

版本一

func minCostClimbingStairs(cost []int) int {// 假设dp[i]表示爬到第i个楼梯的最小花费，由于一次只能爬一个或两个台阶// 那么爬到第i个台阶一定是从第i - 1或i - 2个台阶爬上来的// 从而状态转移方程是 dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1],dp[i-2] + cost[i-2])// 由于一开始就可以在第0或者第1个台阶，所以dp[0] = 0,dp[1] = 0，即到这两个台阶无需花费if  len(cost) <= 1 {return 0}dp := make([]int,len(cost) + 1)for i := 2;i < len(dp);i++ {dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])}return dp[len(cost)]
}func min(a,b int) int {if a < b {return a}return b
}

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(n)$

还可以优化空间复杂度，因为dp[i]就是由前两位推出来的，那么也不用dp数组了，Go代码如下：

版本二

func minCostClimbingStairs(cost []int) int {if  len(cost) <= 1 {return 0}dp0,dp1 := 0,0for i := 2;i < len(dp);i++ {dpi = min(dp1+cost[i-1],dp0+cost[i-2])dp0 = dp1 // 记录一下前两位dp1 = dpi}return dp1
}func min(a,b int) int {if a < b {return a}return b
}

时间复杂度：$O(n)$
空间复杂度：$O(1)$

当然如果在面试中，能写出版本一就行，除非面试官额外要求 空间复杂度，那么再去思考版本二，因为版本二还是有点绕。版本一才是正常思路。

总结

大家可以发现这道题目相对于70.爬楼梯 又难了一点，但整体思路是一样的。

从509.斐波那契数 到70.爬楼梯 再到这道题目，大家感受到循序渐进的梯度了嘛。

每个专题最开始的题目都有点简单，其实都是有目的性的，就是用简单题练习方法论，然后难度都是梯度上来的，一环扣一环。