斐波那契数列

剑指offer的一道经典入门级别题目。

描述

大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个正整数 n ，请你输出斐波那契数列的第 n 项。

数据范围：1≤n≤40

要求：空间复杂度 O(1)，时间复杂度 O(n) ，本题也有时间复杂度 O(logn)的解法

输入描述：

一个正整数n

返回值描述：

输出一个正整数。

示例1

输入：

4

返回值：

3

说明：

根据斐波那契数列的定义可知，fib(1)=1,fib(2)=1,fib(3)=fib(3-1)+fib(3-2)=2,fib(4)=fib(4-1)+fib(4-2)=3，所以答案为3。   

示例2

输入：

1

返回值：

1

示例3

输入：

2

返回值：

1

此题是非常经典的入门题了。同样的类型的题还有兔子繁殖的问题，跳台阶问题。

方法一：递归

斐波那契数列公式为：f[n] = f[n-1] + f[n-2], 初始值f[0]=0, f[1]=1。那么代码就很容易出来了 

class Solution {
public:int Fibonacci(int n) {if (n<=2) return 1;return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);}
};

时间复杂度：O(2^n) 

空间复杂度：递归栈的空间

方法二：记忆化搜索

其实我们在递归的时候，有很多f[n]都重复计算了。所以我们用数组来存一下。

class Solution {
public:int f[50]{0};int Fibonacci(int n) {if (n <= 2) return 1;if (f[n] > 0) return f[n];return f[n] = (Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2));}
};

时间复杂度：O（n）， 没有重复的计算 

空间复杂度：O（n）和递归栈的空间

方法三：动态规划

虽然前面两种方法已经可以解决此题了，但是如果想让空间继续优化，那就用动态规划优化掉递归栈空间。 方法二是从上往下递归的然后再从下往上回溯的，最后回溯的时候来合并子树从而求得答案。 那么动态规划不同的是，不用递归的过程，直接从子树求得答案。过程是从下往上。

class Solution {
public:int dp[50]{0};int Fibonacci(int n) {dp[1] = 1, dp[2] =1;for (int i = 3 ; i <= n ; i ++) dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];return dp[n];}
};

时间复杂度：O(n) 空间复杂度：O(n)

其实我们还可以继续优化，可以发现计算f[5]的时候只用到了f[4]和f[3], 没有用到f[2]...f[0],所以保存f[2]..f[0]是浪费了空间。 只需要用3个变量即可。

class Solution {
public:int Fibonacci(int n) {int a = 1 , b = 1 , c = 1;for (int i = 3 ; i <= n ; i ++) {c = a+b , a = b , b = c;}return c;}
};

时间复杂度：O（n） 

空间复杂度：O（1）