【高等数学】映射极限的语言表述

拓扑空间的框架

考虑拓扑空间 ${\mathcal{T}}_x$, ${\mathcal{T}}_y$。 $f:{\mathcal{T}}_x\to {\mathcal{T}}_y$, $\forall V\in {\mathcal{T}}_y$, $A\in U$ 如果 $\exists U\in {\mathcal{T}}_x$, ∀ x ∈ U ∖ { x 0 } \forall x\in U\setminus\{x_0\} ∀x∈U∖{x0​}, 满足 $f(x)\in V$. 则称映射 $f$ 在 $x_0$ 处收敛。

函数的极限

一元函数

$\exists C\in \mathbb{R}$, $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, $\forall x\in (x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta )$, 满足 $|f(x)-C|<\epsilon$。 称 $C$ 为函数在 $x_0$ 处的极限。

多元函数

$\exists C\in \mathbb{R}$, $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, $\forall x\in \dot{U}(x_0,\delta )$, 满足 $|f(x)-C|<\epsilon$。 称 $C$ 为函数在 $x_0$ 处的极限。

向量值多元函数

$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$

$\exists C\in {\mathbb{R}}^m$, $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, $\forall 0<\Vert x-x_0{\Vert }_{2,n}<\delta$, 满足 $\Vert f(x)-C{\Vert }_{2,m}<\epsilon$。 称 $C$ 为函数在 $x_0$ 处的极限。

函数的连续点 $x_0$

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$
如果 $\forall x\in D$ 都使得 $f$ 连续， 则称 $f$ 在 $D$ 上连续。

多元函数的上极限，下极限

对于有界函数，通常研究其上极限与下极限。

$\epsilon -\delta$ 语言

定义：

• $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta$, $\forall 0<\Vert x-x_0\Vert <\delta$, 满足 $f(x)<A+\epsilon$,
• $\forall \epsilon >0$, $\forall \delta$, $\exists 0<\Vert x-x_0\Vert <\delta$, 满足 $A-\epsilon <f(x)$.
  则称 $A$ 为函数 $f$ 在 $x_0$ 处的上极限。
  $$\underset{x\to x_0}{\overline{\lim }}f(x)=A.$$

类似的

• $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta$, $\forall 0<\Vert x-x_0\Vert <\delta$, 满足 $B-\epsilon <f(x)$,
• $\forall \epsilon >0$, $\forall \delta$, $\exists 0<\Vert x-x_0\Vert <\delta$, 满足 $f(x)<B+\epsilon$.
  则称 $B$ 为函数 $f$ 在 $x_0$ 处的下极限。
  $$\underset{x\to x_0}{\underline{\lim }}f(x)=B.$$

确界语言

集合确界的定义:
$S\subset \mathbb{R}$, sup ⁡ S = { t ∣ ∀ ε > 0 , ∀ x ∈ S , x < t + ε , ∃ x ∈ S , x > t − ε } \sup S=\{t| \forall \varepsilon>0, \forall x\in S, x<t+\varepsilon, \exists x\in S, x>t-\varepsilon\} supS={t∣∀ε>0,∀x∈S,x<t+ε,∃x∈S,x>t−ε}.

定义:

• $$\underset{x\to x_0}{\overline{\lim }}f(x)=\underset{\delta >0}{\inf }\underset{x\in U^{\circ }(x_0,\delta )}{\sup }f(x)=\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{x\in \dot{X}(x_0,\delta )}{\sup }f(x).$$
• $$\underset{x\to x_0}{\underline{\lim }}f(x)=\underset{\delta >0}{\sup }\underset{x\in U^{\circ }(x_0,\delta )}{\inf }f(x)=\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{x\in \dot{X}(x_0,\delta )}{\inf }f(x).$$

子列语言

如果 $A$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的上极限，则每个收敛到 $x_0$ 的子列 $f(x_n)$ 的极限小于等于 $A$， 且存在一个收敛到 $x_0$ 的子列 $f(x_n)$ 极限等于 $A$.
如果 $A$ 是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的下极限，则每个收敛到 $x_0$ 的子列 $f(x_n)$ 的极限大于等于 $A$， 且存在一个收敛到 $x_0$ 的子列 $f(x_n)$ 极限等于 $A$.

半连续函数

• 下半连续函数 $\underset{x\to x_0}{\underline{\lim }}f(x)\ge f(x_0)$
• 上半连续函数 $\underset{x\to x_0}{\overline{\lim }}f(x)\le f(x_0)$

然而这种基于拓扑空间的定义方式， 无法满足最优化问题中对于最优问题可行集，最优解集等概念的闭性，因此在变分分析中不再适用，因而在变分分析中以邻域代替去心邻域定义所有的极限与连续性。

闭集框架

函数的极限

一元函数

$\exists C\in \mathbb{R}$, $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, $\forall x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$, $|f(x)-C|<\epsilon$。 称 $C$ 为函数在 $x_0$ 处的极限。

多元函数

$\exists C\in \mathbb{R}$, $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, $\forall x\in U(x_0,\delta )$, $|f(x)-C|<\epsilon$。 称 $C$ 为函数在 $x_0$ 处的极限。

向量值多元函数

$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$

$\exists C\in {\mathbb{R}}^m$, $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta >0$, $\forall \Vert x-x_0{\Vert }_{2,n}<\delta$, $\Vert f(x)-C{\Vert }_{2,m}<\epsilon$。 称 $C$ 为函数在 $x_0$ 处的极限。

函数的连续点 $x_0$

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$$
如果 $\forall x\in D$ 都使得 $f$ 连续， 则称 $f$ 在 $D$ 上连续。

多元函数的上极限，下极限

对于有界函数，通常研究其上极限与下极限。

$\epsilon -\delta$ 语言

定义：

• $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta$, $\forall \Vert x-x_0\Vert <\delta$, $f(x)<A+\epsilon$,
• $\forall \epsilon >0$, $\forall \delta$, $\exists \Vert x-x_0\Vert <\delta$, $A-\epsilon <f(x)$.
  则称 $A$ 为函数 $f$ 在 $x_0$ 处的上极限。
  $$\underset{x\to x_0}{\overline{\lim }}f(x)=A.$$

类似的

• $\forall \epsilon >0$, $\exists \delta$, $\forall \Vert x-x_0\Vert <\delta$, $B-\epsilon <f(x)$,
• $\forall \epsilon >0$, $\forall \delta$, $\exists \Vert x-x_0\Vert <\delta$, $f(x)<B+\epsilon$.
  则称 $B$ 为函数 $f$ 在 $x_0$ 处的下极限。
  $$\underset{x\to x_0}{\underline{\lim }}f(x)=B.$$

确界语言

集合确界的定义:
$S\subset \mathbb{R}$, sup ⁡ S = { t ∣ ∀ ε > 0 , ∀ x ∈ S , x < t + ε , ∃ x ∈ S , x > t − ε } \sup S=\{t| \forall \varepsilon>0, \forall x\in S, x<t+\varepsilon, \exists x\in S, x>t-\varepsilon\} supS={t∣∀ε>0,∀x∈S,x<t+ε,∃x∈S,x>t−ε}.

定义:

• $$\underset{x\to x_0}{\overline{\lim }}f(x)=\underset{\delta >0}{\inf }\underset{x\in U(x_0,\delta )}{\sup }f(x)=\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{x\in \dot{X}(x_0,\delta )}{\sup }f(x).$$
• $$\underset{x\to x_0}{\underline{\lim }}f(x)=\underset{\delta >0}{\sup }\underset{x\in U(x_0,\delta )}{\inf }f(x)=\underset{\delta \to 0}{\lim }\underset{x\in \dot{X}(x_0,\delta )}{\inf }f(x).$$

半连续函数

• 下半连续函数 $\underset{x\to x_0}{\underline{\lim }}f(x)\ge f(x_0)$
• 上半连续函数 $\underset{x\to x_0}{\overline{\lim }}f(x)\le f(x_0)$

集值映射的外极限与内极限

在 Aubin 的集值分析中通过数列的上下极限给出了集合列的内外极限

在度量空间 $(\mathcal{X},\Vert \cdot \Vert )$ 定义点 $x$ 到 $K$ 的距离 $d(x,K)={\inf }_{y\in K}\Vert x-y\Vert$,

• 给定集合列 $S_n\subset \mathcal{X}$,
  lim sup ⁡ x → x 0 S ( x ) = { y ∣ lim ⁡ ‾ x → x 0 d ( S ( x ) , y ) = 0 } \limsup_{x\to x_0}S(x)=\{y| \mathop{\underline{\lim}}\limits_{x\to x_0} d(S(x),y)=0\} x→x0​limsup​S(x)={y∣x→x0​lim​​d(S(x),y)=0}
• 给定集值映射 $S(x)\subset \mathcal{X},\forall x\in \mathcal{X}$,
  lim inf ⁡ x → x 0 S ( x ) = { y ∣ lim ⁡ ‾ x → 0 d ( S ( x ) , y ) = 0 } \liminf_{x\to x_0}S(x)=\{y|\mathop{\overline{\lim}}\limits_{x\to 0} d(S(x),y)=0\} x→x0​liminf​S(x)={y∣x→0lim​d(S(x),y)=0}

以外极限为例，将数列下极限的定义展开以及距离的非负性， 因此外极限的定义可以写为
lim sup ⁡ x → x 0 S ( x ) = { y ∣ ∀ ε > 0 , ∀ δ > 0 , ∃ x ∈ B ( x 0 , δ ) , d ( S ( x ) , y ) < ε } \limsup_{x\to x_0}S(x)=\{y| \forall\varepsilon>0, \forall \delta>0, \exists x\in B(x_0,\delta), d(S(x),y)<\varepsilon\} x→x0​limsup​S(x)={y∣∀ε>0,∀δ>0,∃x∈B(x0​,δ),d(S(x),y)<ε}

而内极限中蕴含的数列上极限为零，并且距离具有非负性， 根据夹逼定理可得 $\underset{k\to \infty }{\lim }d(x,S_n)=0.$
因此内极限的定义可以写为
lim inf ⁡ x → x 0 S ( x ) = { y ∣ ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ∈ B ( x 0 , δ ) , d ( S ( x ) , y ) < ε } \liminf_{x\to x_0}S(x)=\{y| \forall\varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x\in \mathbb{B}(x_0,\delta), d(S(x),y)<\varepsilon\} x→x0​liminf​S(x)={y∣∀ε>0,∃δ>0,∀x∈B(x0​,δ),d(S(x),y)<ε}

而 $d(y,S(x))<\epsilon$ 等价于 $y\in S(x)+\epsilon \mathrm{B}$， 所以可以用交并集合列的形式重写内外极限，

lim sup ⁡ x → x 0 S ( x ) = ⋂ ε > 0 ⋂ δ > 0 ⋃ x ∈ B ( x 0 , δ ) { S ( x ) + ε B } . \limsup_{x\to x_0}S(x)=\bigcap_{\varepsilon>0}\bigcap_{\delta>0}\bigcup_{x\in B(x_0,\delta)} \{S(x)+\varepsilon\mathrm{B}\}. x→x0​limsup​S(x)=ε>0⋂​δ>0⋂​x∈B(x0​,δ)⋃​{S(x)+εB}.

lim inf ⁡ x → x 0 S ( x ) = ⋂ ε > 0 ⋃ δ > 0 ⋂ x ∈ B ( x 0 , δ ) { S ( x ) + ε B } . \liminf_{x\to x_0}S(x)=\bigcap_{\varepsilon>0}\bigcup_{\delta>0}\bigcap_{x\in B(x_0,\delta)} \{S(x)+\varepsilon\mathrm{B}\}. x→x0​liminf​S(x)=ε>0⋂​δ>0⋃​x∈B(x0​,δ)⋂​{S(x)+εB}.

集值映射的半连续性

• 集值映射的外半连续性 $$\underset{x\to x_0}{\mathrm{limsup}}S(x)\subset S(x_0).$$
• 集值映射的内半连续性 $$\underset{x\to x_0}{\mathrm{liminf}}S(x)\supset S(x_0).$$