【数学二】一元函数微分学-连续、可导、可微之间的关系

考试要求

1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.
6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a.b)内,设函数$f(x)$具有二阶导数当$f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时，$f(x)$的图形是凹的;当 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时,$f(X)$的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
9、了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

连续、可导、可微之间的关系

定理 若函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，则$f(x)在x_0$处连续。

定理 函数$y=f(x)$在点$x_0$处可微分的充要条件是$f(x)在x_0$处可导，且$dy=f^{{}^{\prime }}(x_0)dx$

TIPS：

1、$连续\Leftarrow 可导\iff 可微\Rightarrow 连续$

练习1：设函数$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2,x\le 1\\ ax+b，x>1\end{array}$，那么当$a,b$取何值时，$f(x)在x=1处可导$

知识点:
1、$f^{{}^{\prime }}(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
2、定理 函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充要条件是左右导数存在且相等，即$$f^{{}^{\prime }}(x_0)\iff （f_{+}^{{}^{\prime }}(x_0)=f_{-}^{{}^{\prime }}(x_0)$$

解: $$\begin{gathered} \underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{ax+b-1}{x-1}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a+b-1=0\\ {\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=a\end{array} \\ \underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^2-1}{x-1}=2 \\ 左极限存在且相等\Rightarrow a=2,b=-1 \end{gathered}$$

练习2：设函数$f(x)=\{\begin{array}{l}\sin 2x+x^2\cos \frac{1}{x},x\ne 0\\ \\ 0，x=0\end{array}$，则$f(x)$在x=0处不成立的是：连续、可导、可微、不可导？

知识点:
1、$f^{{}^{\prime }}(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
2、定理 函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充要条件是左右导数存在且相等，即$$f^{{}^{\prime }}(x_0)\iff （f_{+}^{{}^{\prime }}(x_0)=f_{-}^{{}^{\prime }}(x_0)$$
3、$连续\Leftarrow 可导\iff 可微\Rightarrow 连续$
4、无穷小与有界函数的乘积为无穷小

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x+x^2\cos \frac{1}{x}}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{x}+\underset{x\to 0}{\lim }x\cos \frac{1}{x}=2 \\ 连续\Leftarrow 可导\iff 可微\Rightarrow 连续 \\ f(x)在x=0处不成立的是不可导 \end{gathered}$$

练习3：设函数$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{\sin |x|}{x},x\ne 0\\ \\ 1，x=0\end{array}$，则$f(x)$在x=0处连续性及可导？

知识点:
1、$f^{{}^{\prime }}(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
2、定理 函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充要条件是左右导数存在且相等，即$$f^{{}^{\prime }}(x_0)\iff （f_{+}^{{}^{\prime }}(x_0)=f_{-}^{{}^{\prime }}(x_0)$$
3、$连续\Leftarrow 可导\iff 可微\Rightarrow 连续$
4、$x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$

解$$\begin{gathered} f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{\sin |x|}{x},x\ne 0\\ \\ 1，x=0\end{array}\Rightarrow f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x},x>0\\ \\ 1，x=0\\ \\ \frac{\sin -x}{x},x<0\end{array} \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x-0}=\frac{\sin x-x}{x^2}=-\frac{1}{6}x=0 \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\frac{\sin (-x)}{x}-1}{x}=\frac{-\sin x-x}{x^2}=-\frac{2x-\frac{1}{6}{x}^3}{x^2}=-\infty \\ 0\ne -\infty 即导数不存在 \\ \underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1，\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sin (-x)}{x}=-1 \\ \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)\Rightarrow 不连续 \\ 故:f(x)在x=0处即不连续性也不可导 \end{gathered}$$

练习4：设函数$f(x)$在$(-1,1)$上有定义，且${\lim }_{x\to 0}f(x)=0$，则：

A、当${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=0时，f(x)在x=0处可导$。
B、当${\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0时，f(x)在x=0处可导$。
C、当$f(x)在x=0处可导时，{\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=0$。
D、当$f(x)在x=0处可导时，{\lim }_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=0$。\

知识点:
1、$f^{{}^{\prime }}(x_0)={\lim }_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
2、定理 函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充要条件是左右导数存在且相等，即$$f^{{}^{\prime }}(x_0)\iff （f_{+}^{{}^{\prime }}(x_0)=f_{-}^{{}^{\prime }}(x_0)$$

解:$$\begin{gathered} f^{{}^{\prime }}(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x} \\ 当\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=0时\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}=\infty 不可导 \\ 当\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=0时\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{1}{x}=\infty 不可导 \\ 当f(x)在x=0处可导时\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}=0 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{\sqrt{x}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}.\frac{x}{\sqrt{x}}=0 \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x}.\frac{1}{x}=\infty \\ 故选C \end{gathered}$$