【C++】AVL树

一、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查
找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。从原来的时间复杂度O(logn)转变为O(n)

因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/1/0)

二、AVL树节点的定义

AVL的概念：左右子树高度差不超过1

因此要在二叉搜索树上增加一个平衡因子(来记录左右子树的高度差)，当平衡因子超过1时，就要更新向上调整父节点的平衡因子(因为子节点的平衡因子发生变化，间接的导致父节点的平衡因子发生改变)，这时就要知道父节点的位置，因此在二叉搜索树上要多维护一个父节点的指针。

struct AVLTreeNode
{pair<K, V> _key;AVLTreeNode<K, V>* _left;AVLTreeNode<K, V>* _right;AVLTreeNode<K, V>* _parent;int _bf; // balance fatcorAVLTreeNode(const pair<K, V>& key): _key(key), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _bf(0){}
};

三、AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子
1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
2. 调整节点的平衡因子

下面是二叉搜索树的插入，这个树的结构是左子树小于根，右子树大于根。 

	bool Insert(const pair<K, V>& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key.first < key.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key.first > key.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key.first < key.first){parent->_right = cur;}else {parent->_left = cur;}
}

调整节点的平衡因子

插入新节点，会影响部分祖先节点的平衡因子，因此要不断的更新平衡因子。

插入在左子树，parent平衡因子--

插入在右子树，parent平衡因子++

1、parent的平衡因子 == 0

parent的平衡因子更新前是 1 or -1，插入节点插入在矮的那边。parent所在子树的高度不变，不需要继续往上更新

2、parent的平衡因子 == 1 / -1

说明parent的平衡因子更新前是0，插入节点插入在任意一边。parent所在的子树高度都会变化了，需要继续往上更新

3、parent的平衡因子 == 2 / -2

说明parent的平衡因子更新前是1 / -1，插入节点插入在高的那边，进一步加剧了parent所在子树的不平衡，所以要发生旋转，旋转后要更新平衡因子

		// 因为因为父节点要连接一下父节点的位置cur->_parent = parent;// 更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_left)parent->_bf--;elseparent->_bf++;if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){//继续往上更新cur = parent;parent = parent->_parent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){//旋转处理}else {assert(false);}}

3.1 AVL左单旋

上面图中的h可以认为是抽象图，就是二叉树搜索树的分支。

上面的图可以认为在subR的右子树(记住是右子树)中任意插入一个节点，使右子树的高度+1，导致subR的平衡因子发生改变，从而影响parent的平衡因子变成了2，从而发生旋转。发生左旋转的条件是什么？是parent的平衡因子为2，subR的平衡因子为1时发生左旋转。 

代码实现一下

	void RotateL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parentParent == nullptr){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else {if (parentParent->_left == parent){parentParent->_left = subR;}else {parentParent->_right = subR;}subR->_parent = parentParent;}parent->_bf = subR->_bf = 0;}

3.2 AVL右单旋

subL为parent的左子树，subLR为subL的右子树，当a这个位置高度变为h+1时，parent平衡因子为-2，subL平衡因子为-1时，此时发生右旋转，parent的左子树变为subLR，subL变为父节点且右子树为parent

代码实现一下

	void RotateR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;Node* parentParent = parent->_parent;subL->_right = parent;parent->_parent = subL;if (parentParent == nullptr){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{if (parent == parentParent->_left){parentParent->_left = subL;}else{parentParent->_right = subL;}subL->_parent = parentParent;}parent->_bf = subL->_bf = 0;}

3. 2 左右双旋

左旋 

如果subRL这个二叉树中高度增加1时也就是说当parent的平衡因子为2，subR的平衡因子为-1时左单旋，我们不难发现旋转的结果与预期不符 

右旋如果subLR这个二叉树高度增加1时也就是说parent的平衡因子为-2，subL的平衡因子为1时进行右单旋，旋转的结果与预期不符。旋来旋去发现高度没有变化。

如何解决parent的平衡因子为2，subR的平衡因子为-1的问题？

上图就是解决方式，增加节点后的第二个图，90为parent进行右旋到第三张图，之后30再变成parent进行左旋。

这里最麻烦的是平衡因子的维护

当h == 0时

也就是说subRL这个节点为新增节点，subRL与parent与subR平衡因子都为0。

当h > 0 时 

因为增加节点有可能在b或者在c，不能确定parent这个位置平衡因子是-1/0还是subR这个位置的平衡因子是0/1，如何解决呢？

我们记录一下插入节点后subRL的平衡因子，如果subRL的平衡因子为1，经过左右双旋后，parent平衡因子为-1，subR为0，subRL为0。如果subRL的平衡因子为-1，经过左右双旋后，parent的平衡因子为0，subR为1，subRL为0。

代码实现

	void RotateRL(Node* parent){Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;int bf = subRL->_bf;RotateR(parent->_right);RotateL(parent);if (bf == 0){subRL->_bf = 0;subR->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else if (bf == 1){subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;parent->_bf = -1;}else if (bf == -1){subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;parent->_bf = 0;}else{assert(false);}}

如何解决parent的平衡因子为-2，subR的平衡因子为1的问题？

 上图就是解决方式，增加节点后的第二个图，30为parent进行左旋到第三张图，之后90再变成parent进行右旋。

 平衡因子的维护

 这里也要分三种情况来进行判断

当h == 0时

subRL为新插入节点时，parent的平衡因子与subL和subLR都为0

当h > 0时

新增节点插入b位置时，subLR的平衡因子为-1时，双旋后parent的平衡因子为1，subL和subLR的平衡因子为0。

新增节点插入c位置时，subLR的平衡因子为1时，双旋后parent的平衡因子为0，subL的平衡因子为-1，subLR的平衡因子为0。

 代码实现

	void RotateLR(Node* parent){Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;int bf = subLR->_bf;RotateL(parent->_left);RotateR(parent);if (bf == 0){parent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){parent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 1){parent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else {assert(false);}}