递归算法详解

递归

在解决⼀个规模为n的问题时，如果满⾜以下条件，我们可以使⽤递归来解决：

A. 问题可以被划分为规模更⼩的⼦问题，并且这些⼦问题具有与原问题相同的解决⽅法。

B. 当我们知道规模更⼩的⼦问题（规模为 n - 1）的解时，我们可以直接计算出规模为 n 的问题 的解。

C. 存在⼀种简单情况，或者说当问题的规模⾜够⼩时，我们可以直接求解问题。 ⼀般的递归求解过程如下：

a. 验证是否满⾜简单情况。

b. 假设较⼩规模的问题已经解决，解决当前问题。

题目一： 汉诺塔 （easy）

1. 题⽬链接：

https://leetcode.cn/problems/hanota-lcci/description/

2. 题⽬描述：

3. 解法（递归）：

算法思路：

这是⼀道递归⽅法的经典题⽬，我们可以先从最简单的情况考虑：

• 假设 n = 1，只有⼀个盘⼦，很简单，直接把它从 A 中拿出来，移到 C 上；

• 如果 n = 2 呢？这时候我们就要借助 B 了，因为⼩盘⼦必须时刻都在⼤盘⼦上⾯，共需要 3 步（为
了⽅便叙述，记 A 中的盘⼦从上到下为 1 号，2 号）：

a. 1 号盘⼦放到 B 上；

b. 2 号盘⼦放到 C 上；

c. 1 号盘⼦放到 C 上。
⾄此，C 中的盘⼦从上到下为 1 号， 2 号。

• 如果 n > 2 呢？这是我们需要⽤到 n = 2 时的策略，将 A 上⾯的两个盘⼦挪到 B 上，再将最⼤的盘
⼦挪到 C 上，最后将 B 上的⼩盘⼦挪到 C 上就完成了所有步骤。例如 n = 3 时如下图：

因为 A 中最后处理的是最⼤的盘⼦，所以在移动过程中不存在⼤盘⼦在⼩盘⼦上⾯的情况。
则本题可以被解释为：

1. 对于规模为 n 的问题，我们需要将 A 柱上的 n 个盘⼦移动到C柱上。

2. 规模为 n 的问题可以被拆分为规模为 n-1 的⼦问题：

a. 将 A 柱上的上⾯ n-1 个盘⼦移动到B柱上。

b. 将 A 柱上的最⼤盘⼦移动到 C 柱上，然后将 B 柱上的 n-1 个盘⼦移动到C柱上。
3. 当问题的规模变为 n=1 时，即只有⼀个盘⼦时，我们可以直接将其从 A 柱移动到 C 柱。

• 需要注意的是，步骤 2.b 考虑的是总体问题中的 ⼦问题b 情况。在处理⼦问题的 ⼦问题b 时，我们 应该将 A
柱中的最上⾯的盘⼦移动到 C 柱，然后再将 B 柱上的盘⼦移动到 C 柱。在处理总体问题 的 ⼦问题b 时，A
柱中的最⼤盘⼦仍然是最上⾯的盘⼦，因此这种做法是通⽤的。

算法流程：

递归函数设计：
函数头的设计（重复子问题）

public void hanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C)

1. 返回值：⽆；

2. 参数：三个柱⼦上的盘⼦，当前需要处理的盘⼦个数（当前问题规模）。
   函数体的
   函数体的设计（关注一个具体的子问题在做什么）

3. 函数作⽤：将 A 中的上⾯ n 个盘⼦挪到 C 中。

递归函数流程：

1. 当前问题规模为 n=1 时，直接将 A 中的最上⾯盘⼦挪到 C 中并返回；

2. 递归将 A 中最上⾯的 n-1 个盘⼦挪到 B 中；

3. 将 A 中最上⾯的⼀个盘⼦挪到 C 中；

4. 将 B 中上⾯ n-1 个盘⼦挪到 C 中。

4.代码

class Solution 
{public void hanota(List<Integer> a, List<Integer> b, List<Integer> c) {dfs(a, b, c, a.size());}public void dfs(List<Integer> a, List<Integer> b, List<Integer> c, int n){if(n == 1){c.add(a.remove(a.size() - 1));return;}dfs(a, c, b, n - 1);c.add(a.remove(a.size() - 1));dfs(b, a, c, n - 1);}}

题目二：合并两个有序链表（easy）

1. 题⽬链接:

https://leetcode.cn/problems/merge-two-sorted-lists/description/

2. 题⽬描述：

3. 解法（递归）：

算法思路：

A. 递归函数的含义：交给你两个链表的头结点，你帮我把它们合并起来，并且返回合并后的头结点；

B. 函数体：选择两个头结点中较⼩的结点作为最终合并后的头结点，然后将剩下的链表交给递归函数 去处理；

C. 递归出⼝：当某⼀个链表为空的时候，返回另外⼀个链表。

4.代码

/*** Definition for singly-linked list.* public class ListNode {* int val;* ListNode next;* ListNode() {}* ListNode(int val) { this.val = val; }* ListNode(int val, ListNode next) { this.val = val; this.next = next; }* }*/class Solution 
{public ListNode mergeTwoLists(ListNode l1, ListNode l2) {if(l1 == null) return l2;if(l2 == null) return l1;if(l1.val <= l2.val){l1.next = mergeTwoLists(l1.next, l2);return l1;}else{l2.next = mergeTwoLists(l1, l2.next);return l2;}}}

题目三： 反转链表（easy）

1. 题⽬链接：

https://leetcode.cn/problems/reverse-linked-list/description/

2. 题⽬描述：

3. 解法（递归）：

算法思路：

1. 递归函数的含义：交给你⼀个链表的头指针，你帮我逆序之后，返回逆序后的头结点；

2. 函数体：先把当前结点之后的链表逆序，逆序完之后，把当前结点添加到逆序后的链表后⾯即可；

3. 递归出⼝：当前结点为空或者当前只有⼀个结点的时候，不⽤逆序，直接返回。

4. 代码

/*** Definition for singly-linked list.* public class ListNode {* int val;* ListNode next;* ListNode() {}* ListNode(int val) { this.val = val; }* ListNode(int val, ListNode next) { this.val = val; this.next = next; }* }*/class Solution 
{public ListNode reverseList(ListNode head) {if(head == null || head.next == null) return head;ListNode newHead = reverseList(head.next);head.next.next = head;head.next = null;return newHead;}
}