对数转换同底公式证明

背景

看逻辑回归函数的发展过程，追溯到了指数函数，而指数函数最初是研究人口增长和时间关系了，里面提到增长率，而增长率又用微分函数来表示。但是我只记得导数也是代表斜率的，导数和微分的区别是什么呢？太久远了。

指数函数求导

直接找到近20年前的《高等数学》看看导数的定义，看到求指数函数的导数问题：
求函数 $f(x)=a^x（a>0,a\ne 1)$ 的导数。

根据导数定义：
$$解：f^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^{(x+h)}-a^x}{h}=a^x\underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^h-1}{h}=a^{x}lna$$

对数换同底证明

对数有换底公式：
$$lo{g}_{a}b=\frac{lo{g}_{c}b}{lo{g}_{c}a}，取c=无理数，则lo{g}_{a}b=\frac{lnb}{lna}$$

这个换底公式怎么证明的呢？刷了两遍一个证明视频，自己理了一遍。

$$\begin{gathered} 1.lo{g}_{a}b=x \\ 2.lo{g}_{c}b=y \\ 3.lo{g}_{c}a=z \end{gathered}$$
换底公式就是要证明：$y=xz$，使用对数和指数的互逆性质和指数运算规则进行推导。

$$\begin{gathered} 4.a^x=b \\ 5.c^y=b \\ 6.c^z=a \\ 7.a^x=c^y \end{gathered}$$

由公式 4 和公式 5 得到等式 7 ，再对等式 6 左右两侧都进行 $y$ 次方：
$$9.(c^z{)}^y=a^y$$

根据指数乘法特点 $(c^z{)}^y=(c^y{)}^z$，替换公式9 的到：
$$10.(c^y{)}^z=a^y$$

用公式 7 替换公式 10 的到新的等式：
$$(a^x{)}^z=a^y$$
而 $(a^x{)}^z=a^{xz}=a^y$，因此得到 $y=xz$。