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复数随机变量(信号)的方差和协方差矩阵的计算

news 2025/7/1 5:53:04

怎么计算复数随机变量的方差和协方差矩阵？

使得其与MATLAB中var函数和cov函数的结果一致。

前言

复信号在信号处理中随处可见，关于复信号（复随机变量）的方差和协方差矩阵该如何计算呢？本文给出了复信号的方差和协方差矩阵的计算，该计算与MATLAB提供的计算方差的函数var和计算协方差矩阵的函数cov的结果是一致的。

提示：以下是本篇文章正文内容，欢迎各位阅读，转载请附上链接。

方差的计算

复数随机变量X方差的计算公式如下：

$\sigma ^2=\frac{\sum_{n=1}^{N}\left | x_n-\bar{\textbf{X}} \right |^2}{N-1}$

或

$\sigma ^2=E(\left | \textbf{X} \right |^2)-\left | \bar{\textbf{X} }\right |^2$

方差的计算 MATLAB验证代码

clc;
clear;
close all;
x = [1, -1+i, 1+1i, 1-1i];
Var1 = var(x)
Var2 = sum(abs(x-mean(x)).^2)/(numel(x)-1) %方法一Var1 =  var(x,1)
Var2 =  mean(abs(x).^2)-(abs(mean(x)).^2)  %方法二

运行结果：

Var1 =
1.9167
Var2 =
1.9167
Var1 =
1.4375
Var2 =
1.4375

协方差矩阵的计算MATLAB验证代码

复数随机变量X和Y协方差矩阵的计算如下：

clc;
clear;
close all;rng default;
X=randn(100,2)+j*randn(100,2); %1列为1个随机变量
[m n]=size(X);
Cov1=cov(X)
Cov2=(X-mean(X))'*(X-mean(X))/(m-1) % 方法一
Cov1-Cov2% 计算第1列和第2列的协方差          % 方法二
y=X-mean(X);
cov12=sum(conj(y(:,1)).*(y(:,2)))/(m-1)
Cov1(1,2)-cov12

运行结果：

Cov1 =
2.3841 + 0.0000i 0.1264 + 0.2678i
0.1264 - 0.2678i 1.8974 + 0.0000i
Cov2 =
2.3841 + 0.0000i 0.1264 + 0.2678i
0.1264 - 0.2678i 1.8974 + 0.0000i
ans =
1.0e-15 *
0.4441 - 0.0010i -0.0278 + 0.0555i
-0.0278 + 0.0000i 0.0000 - 0.0046i
cov12 =
0.1264 + 0.2678i
ans =
-5.5511e-17

可见，结果一致，计算无误。

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http://www.mrgr.cn/news/21729.html