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机器学习算法——常规算法【算法推导】

news 2025/7/23 0:24:23

概述

在机器学习领域，算法推导是理解算法工作原理的重要步骤。通过推导，我们可以更深入地理解算法背后的数学原理，从而更好地应用和优化算法。本文将通过逻辑回归算法的推导，展示如何从基本原理出发，推导出算法的数学表达式。

逻辑回归算法推导

逻辑回归是一种广泛使用的二分类算法，其目标是找到一个概率模型，用于预测输入特征属于某个类别的概率。

1. 模型假设

逻辑回归模型假设输入特征( x )与输出标签( y )之间的关系可以通过Sigmoid函数表示：

[ P(y=1|x) = \frac{1}{1 + e^{-(\thetaT x)}} ]

其中，( \theta )是模型参数，( x )是特征向量。

2. 损失函数

为了找到最佳的模型参数( \theta )，我们需要定义一个损失函数，用于衡量模型预测值与实际值之间的差异。逻辑回归使用的是交叉熵损失函数：

[ J(\theta) = -\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} [y^{(i)} \log(\hat{y}^{(i)}) + (1 - y^{(i)}) \log(1 - \hat{y}^{(i)})] ]

其中，( m )是样本数量，( y^{(i)} )是第( i )个样本的实际标签，( \hat{y}^{(i)} )是模型预测的概率。

3. 梯度下降

为了最小化损失函数，我们使用梯度下降算法来更新参数( \theta )。梯度下降的核心思想是沿着损失函数下降最快的方向更新参数：

[ \theta := \theta - \alpha \cdot \nabla_\theta J(\theta) ]

其中，( \alpha )是学习率，( \nabla_\theta J(\theta) )是损失函数关于参数( \theta )的梯度。

梯度计算如下：

[ \frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j} = \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} (\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}) x_j^{(i)} ]

4. 代码实现

以下是使用Python实现逻辑回归算法的示例代码：

import numpy as npclass LogisticRegression:def __init__(self, learning_rate=0.01, num_iterations=1000):self.learning_rate = learning_rateself.num_iterations = num_iterationsself.theta = Nonedef _sigmoid(self, z):return 1 / (1 + np.exp(-z))def fit(self, X, y):# 初始化参数self.theta = np.zeros(X.shape[1])# 梯度下降for _ in range(self.num_iterations):gradient = (1 / X.shape[0]) * X.T.dot((self._sigmoid(X.dot(self.theta)) - y) * X)self.theta -= self.learning_rate * gradientdef predict_prob(self, X):return self._sigmoid(X.dot(self.theta))def predict(self, X, threshold=0.5):return self.predict_prob(X) >= threshold# 示例数据
X = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]])
y = np.array([0, 0, 1, 1])# 创建和训练模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X, y)# 预测
predictions = model.predict(X)
print(predictions)

算法推导的重要性

算法推导不仅帮助我们理解算法的工作原理，还能指导我们进行算法的优化和改进。通过推导，我们可以更清楚地看到算法的优缺点，以及在特定情况下可能遇到的问题。

结论

逻辑回归算法的推导展示了如何从基本原理出发，通过数学推导得到算法的数学表达式和优化方法。这种推导过程对于深入理解机器学习算法至关重要，也是进行算法研究和应用的基础。通过掌握算法推导，我们可以更好地应用机器学习算法解决实际问题。