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Python从0到100（五十七）：机器学习-主成分分析机

news 2025/8/15 6:53:09

主成分分析是⼀种常⽤的降维技术，⽤于将⾼维数据集投影到低维空间中，同时保留数据集的主要特征。PCA通过寻找数据中最重要的⽅向（主成分），并将数据投影到这些⽅向上来实现降维。

1.基本原理

1、数据中心化：⾸先，对原始数据进⾏中⼼化处理，即将每个特征的均值减去每个数据点的对应特征值，以确保数据的均值为零。
2、协方差矩阵：然后，计算数据的协⽅差矩阵，该矩阵表示了不同特征之间的关联性。
3、特征值分解：对协⽅差矩阵进⾏特征值分解，找到其特征值和特征向量。
4、选择主成分：选择具有最⼤特征值的特征向量，这些特征向量构成了数据在低维⼦空间上的新坐标轴，被称为主成分。
5、投影：将原始数据投影到所选的主成分上，从⽽实现数据的降维。

2.公式模型

1、数据中⼼化：对于⼀个包含m个样本和n个特征的数据矩阵，⾸先计算每个特征的均值，然后进⾏中⼼化处理，得到中⼼化的数据矩阵：
在这里插入图片描述
2、协方差矩阵：计算中⼼化数据的协⽅差矩阵C ，m其中是样本数：

3、特征值分解：对协⽅差矩阵C进⾏特征值分解，得到特征值y1,y2,...,yn和对应的特征向量v1,v2,...,vn。特征向量vi代表数据在新的主成分⽅向上的投影。
4、选择主成分：通常，选择前k个特征值对应的特征向量，它们构成了数据的主成分。这些特征向量通常按照特征值的大小降序排列。
5、投影：将原始数据矩阵X投影到所选的主成分上，得到降维后的数据矩阵Y：
Y=VX
其中，V 是包含选定主成分特征向量的矩阵。
通过PCA，可以将⾼维数据映射到低维空间，从⽽减少了数据的维度。这有助于数据可视化、去除冗余特征、加速机器学习模型的训练，并提⾼模型的泛化性能。选择合适的降维维度（主成分数量）是PCA的⼀个关键参数，通常需要根据问题和性能需求进⾏调整。

3.优缺点

优点：
1. 降低数据维度：PCA能够将⾼维数据降维到较低维度，减少数据存储和计算成本。
2. 保留数据主要特征：PCA通过保留数据集中⽅差最⼤的⽅向，尽可能地保留了数据的主要特征。
3. 减少数据噪⾳：PCA可以将数据投影到主成分上，减少数据中的噪⾳和冗余信息。

缺点：

1. 对线性关系敏感：PCA假设数据是线性相关的，对⾮线性关系的数据降维效果可能不佳。
6. 可解释性差：PCA得到的主成分通常难以解释其含义，因为它是数据的线性组合。
7. 对异常值敏感：PCA对异常值较为敏感，可能会影响主成分的计算结果。

4.适用场景

主成分分析适⽤于以下场景：

数据维度较⾼：当数据维度较⾼时，可以使⽤PCA将数据降维到较低维度。
数据存在多重共线性：当数据中存在多重共线性（即特征之间存在线性相关性）时，PCA可以减少特征之间
的冗余信息。
数据可视化：PCA可以将⾼维数据可视化到⼆维或三维空间中，帮助⼈们理解数据的结构和特征。

主成分分析可以帮助我们减少数据的维度并保留数据的主要特征。然⽽，在使⽤PCA时需要注意数据的线性关系和异常值的影响

5.手写数字识别数据集主成分分析

使⽤⼿写数字识别数据集（MNIST dataset）进⾏主成分分析，并展示降维后的数据可视化结果：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.decomposition import PCA
# 加载⼿写数字识别数据集
digits = load_digits()
X = digits.data
y = digits.target
# 构建PCA模型并拟合数据
pca = PCA(n_components=2)
X_pca = pca.fit_transform(X)
# 可视化降维后的数据
plt.figure(figsize=(10, 8))
scatter = plt.scatter(X_pca[:, 0], X_pca[:, 1], c=y, cmap='viridis', s=20, alpha=0.7)
plt.colorbar(scatter)
plt.title('2D PCA Visualization of MNIST Dataset')
plt.xlabel('Principal Component 1')
plt.ylabel('Principal Component 2')
plt.show()