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深入理解堆排序算法及其时间复杂度分析

news 2025/7/2 15:09:56

深入理解堆排序算法及其时间复杂度分析

堆排序（Heap Sort）是一种基于堆数据结构的比较排序算法。它具有良好的时间复杂度和空间复杂度特性，广泛应用于各种实际场景中。本文将详细介绍堆排序的实现过程，并深入分析其时间复杂度。

一、堆排序的基本概念

堆是一种特殊的完全二叉树，分为最大堆和最小堆。在最大堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值；在最小堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。堆排序利用最大堆或最小堆的性质来实现排序。

二、堆排序的实现步骤

堆排序的基本步骤如下：

构建最大堆：将无序数组构建成最大堆。
交换堆顶元素和末尾元素：将堆顶元素（最大值）与末尾元素交换，并将堆的大小减一。
调整堆：对堆顶元素进行调整，使其满足最大堆性质。
重复步骤2和3，直到堆的大小为1。

以下是堆排序的C++实现代码：

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;// 调整堆，使其满足最大堆性质
void heapify(vector<int>& arr, int n, int i) {int largest = i; // 初始化最大值为根节点int left = 2 * i + 1; // 左子节点int right = 2 * i + 2; // 右子节点// 如果左子节点大于根节点if (left < n && arr[left] > arr[largest])largest = left;// 如果右子节点大于最大值if (right < n && arr[right] > arr[largest])largest = right;// 如果最大值不是根节点if (largest != i) {swap(arr[i], arr[largest]); // 交换根节点和最大值节点heapify(arr, n, largest); // 递归调整子树}
}// 构建最大堆
void buildMaxHeap(vector<int>& arr, int n) {for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)heapify(arr, n, i);
}// 堆排序
void heapSort(vector<int>& arr) {int n = arr.size();// 构建最大堆buildMaxHeap(arr, n);// 一个个取出元素for (int i = n - 1; i > 0; i--) {swap(arr[0], arr[i]); // 将当前最大值移到数组末尾heapify(arr, i, 0); // 调整堆}
}// 打印数组
void printArray(const vector<int>& arr) {for (int i : arr)cout << i << " ";cout << endl;
}int main() {vector<int> arr = {12, 11, 13, 5, 6, 7};cout << "排序前的数组: ";printArray(arr);heapSort(arr);cout << "排序后的数组: ";printArray(arr);return 0;
}

三、堆排序的时间复杂度分析

堆排序的时间复杂度主要由两个部分组成：构建最大堆和调整堆。

构建最大堆：
- 构建最大堆的过程需要从最后一个非叶子节点开始，向上调整每个节点。
- 每个节点的调整操作的时间复杂度为O(log n)，因为堆的高度为log n。
- 总共有n/2个非叶子节点，因此构建最大堆的时间复杂度为O(n)。
调整堆：
- 在堆排序过程中，每次将堆顶元素与末尾元素交换后，需要对堆顶元素进行调整。
- 调整操作的时间复杂度为O(log n)。
- 由于需要进行n-1次调整操作，因此调整堆的总时间复杂度为O(n log n)。

综合以上分析，堆排序的总时间复杂度为O(n log n)。