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极限的性质【下】《用Manim可视化》

news 2025/5/15 3:45:47

通过前面的极限的定义，现在是计算极限的时候了。然而，在此之前，我们需要一些极限的性质，这将使我们的工作变得简单一些。我们先来看看这些。

接下来的例子中f(x)=x^2-1

极限的性质：

6.幂函数的极限

\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {\left[ {f\left( x \right)} \right]^n} = {\left[ {\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)} \right]^n},\,\,\,\,{\mbox{where }}n{\mbox{ is any real number}}

 在这个性质n中可以是任何实数(正数、负数、整数、分数、无理数、零等)。

例如，考虑的情况n=2。

对于任意整数n都可以这样做。

接下来我们实现一下该性质：

示例代码：

from manim import *  class LimitPowerPropertyVisualization(Scene):  def construct(self):  # 创建坐标轴  axes = Axes(  x_range=[-1, 4, 1],  y_range=[-1, 40, 5],  axis_config={"color": BLUE},  )  # 定义函数 f(x)  def f(x):  return x**2 - 1  # 定义常量 a 和 n  a = 2  # 所考察的点  n = 3  # 实数 n  # 创建图形  f_graph = axes.plot(f, color=YELLOW, x_range=[-3, 3])  # 计算极限值  limit_f_a = f(a)  limit_power_a = limit_f_a ** n  # 创建幂函数的图形  power_graph = axes.plot(lambda x: f(x) ** n, color=GREEN, x_range=[-3, 3])  # 创建极限点  limit_dot_f = Dot(axes.c2p(a, limit_f_a), color=YELLOW)  limit_dot_power = Dot(axes.c2p(a, limit_power_a), color=GREEN)  # 创建极限值注释  limit_text_f = MathTex(r"\lim_{x \to a} f(x) = ", limit_f_a).next_to(limit_dot_f, RIGHT)  limit_text_power = MathTex(r"\lim_{x \to a} \left(f(x)\right)^n = ", limit_power_a).next_to(limit_dot_power, RIGHT)  # 添加所有元素  self.play(Create(axes), Create(f_graph))  self.play(Create(power_graph))  self.play(Create(limit_dot_f), Create(limit_dot_power))  self.play(Write(limit_text_f), Write(limit_text_power))  # 等待展示  self.wait(2)  # 高亮极限点  self.play(limit_dot_f.animate.set_color(ORANGE), limit_dot_power.animate.set_color(ORANGE))  self.wait(2)  # 淡出所有元素  self.play(FadeOut(axes), FadeOut(f_graph), FadeOut(power_graph),  FadeOut(limit_dot_f), FadeOut(limit_dot_power),  FadeOut(limit_text_f), FadeOut(limit_text_power))

代码解释：

  1. 导入库：使用Manim库进行动画生成。
  2. 创建类：定义类LimitPowerPropertyVisualization，继承自Scene，表示一个动画场景。
  3. 构建坐标轴：创建x和y的坐标轴，设置适当的范围。
  4. 定义函数：定义 f(x)=x2−1f(x)=x2−1。
  5. 定义常量：设置考察点 a=1a=1 和实数 n=3n=3。
  6. 绘制图形：绘制函数 f(x)f(x) 和其幂函数 f(x)nf(x)n。
  7. 计算极限值：在点 aa 处计算极限值，并计算其幂。
  8. 创建极限点：在图上标记出函数的极限值和幂函数的极限值。
  9. 添加注释：为极限值添加文本注释，显示各自的极限值。
  10. 动画效果：逐步展示所有图形、极限点和注释，以便观众理解极限的性质。
  11. 高亮显示：在等待一段时间后，将极限点高亮显示，最后淡出所有元素。

 7.函数，

\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left[ {\sqrt[n]{​{f\left( x \right)}}} \right] = \sqrt[n]{​{\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f\left( x \right)}}

这只是上一个例子的一个特例

 

通过可视化我们得到下面的图像：

 示例代码：

from manim import *  class LimitRootPropertyVisualization(Scene):  def construct(self):  # 创建坐标轴  axes = Axes(  x_range=[-1, 8, 1],  y_range=[-1, 8, 1],  axis_config={"color": BLUE},  )  # 定义函数 f(x)  def f(x):  return x**2 - 1  # 定义常量 a 和 n  a = 3  # 所考察的点  n = 3  # 实数 n  # 创建图形  f_graph = axes.plot(f, color=YELLOW, x_range=[1.02, 8])  # 计算极限值  limit_f_a = f(a)  limit_root_a = limit_f_a ** (1/n)  # 创建平方根函数的图形  root_graph = axes.plot(lambda x: f(x) ** (1/n), color=GREEN, x_range=[1.05,8])  # 创建极限点  limit_dot_f = Dot(axes.c2p(a, limit_f_a), color=YELLOW)  limit_dot_root = Dot(axes.c2p(a, limit_root_a), color=GREEN)  # 创建极限值注释  limit_text_f = MathTex(r"\lim_{x \to a} f(x) = ", limit_f_a).next_to(limit_dot_f, RIGHT)  limit_text_root = MathTex(r"\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = ", limit_root_a).next_to(limit_dot_root, RIGHT)  # 添加所有元素  self.play(Create(axes), Create(f_graph))  self.play(Create(root_graph))  self.play(Create(limit_dot_f), Create(limit_dot_root))  self.play(Write(limit_text_f), Write(limit_text_root))  # 等待展示  self.wait(2)  # 高亮极限点  self.play(limit_dot_f.animate.set_color(ORANGE), limit_dot_root.animate.set_color(ORANGE))  self.wait(2)  # 淡出所有元素  self.play(FadeOut(axes), FadeOut(f_graph), FadeOut(root_graph),  FadeOut(limit_dot_f), FadeOut(limit_dot_root),  FadeOut(limit_text_f), FadeOut(limit_text_root))

 

计算平方根时，可能对负数进行了指数运算，导致结果为无效（NaN）值。在我们的例子中，函数 f(x)=x2−1 在 x<−1 或 x>1 的情况下返回负值，因此在这些区间内计算平方根时会产生警告。

为了解决这个问题，可以在绘制平方根图形时，限制 x 的范围为能保证 f(x)为非负值的部分。对于函数 f(x)：

  • 当 f(x)≥0 时，x 的范围为 [−1,1]。

7.常熟的极限

\mathop {\lim }\limits_{x \to a} c = c,\,\,\,\,c{\mbox{ is any real number}}换句话说，常数的极限就是常数本身。你们应该能够通过画的图形来说服自己f\left( x \right) = c。

其中 cc是任意实数。我们将绘制常数函数 f(x)=c 的图形，并展示其极限。 

 示例代码：

from manim import *  class LimitConstantVisualization(Scene):  def construct(self):  # 创建坐标轴  axes = Axes(  x_range=[-3, 3, 1],  y_range=[-1, 5, 1],  axis_config={"color": BLUE},  )  # 定义常数 c  c = 2  # 任意实数  # 创建常数函数图形  constant_graph = axes.plot(lambda x: c, color=YELLOW, x_range=[-3, 3])  # 定义考察点 a  a = 1  # 创建极限点  limit_dot = Dot(axes.c2p(a, c), color=YELLOW)  # 创建极限值注释  limit_text = MathTex(r"\lim_{x \to a} c = ", c).next_to(limit_dot, RIGHT)  # 添加所有元素  self.play(Create(axes), Create(constant_graph))  self.play(Create(limit_dot))  self.play(Write(limit_text))  # 等待展示  self.wait(2)  # 高亮极限点  self.play(limit_dot.animate.set_color(ORANGE))  self.wait(2)  # 淡出所有元素  self.play(FadeOut(axes), FadeOut(constant_graph), FadeOut(limit_dot), FadeOut(limit_text))

代码解释：

  1. 导入库：使用Manim库进行动画生成。
  2. 创建类：定义类LimitConstantVisualization，继承自Scene，表示一个动画场景。
  3. 构建坐标轴：创建x和y的坐标轴，设置适当的范围。
  4. 定义常数：设置常数 c=2c=2（可以根据需要更改）。
  5. 绘制常数函数图形：绘制常数函数 f(x)=cf(x)=c 的图形。
  6. 定义考察点：设置考察点 a=1a=1。
  7. 创建极限点：在图上标记出常数函数的极限值。
  8. 添加注释：为极限值添加文本注释，显示极限的结果。
  9. 动画效果：逐步展示所有图形、极限点和注释，以便观众理解极限的性质。
  10. 高亮显示：在等待一段时间后，将极限点高亮显示，最后淡出所有元素。

8.直线函数的极限

.\mathop {\lim }\limits_{x \to a} x = a

 和上一题一样，你应该能够通过画f的图像来说服自己f(x）= x

示例代码：

from manim import *  class LimitIdentityVisualization(Scene):  def construct(self):  # 创建坐标轴  axes = Axes(  x_range=[-3, 3, 1],  y_range=[-3, 3, 1],  axis_config={"color": BLUE},  )  # 定义考察点 a  a = 1  # 可以根据需要更改  # 创建线性函数图形 f(x) = x  linear_graph = axes.plot(lambda x: x, color=YELLOW, x_range=[-3, 3])  # 创建极限点  limit_dot = Dot(axes.c2p(a, a), color=YELLOW)  # 创建极限值注释  limit_text = MathTex(r"\lim_{x \to a} x = ", a).next_to(limit_dot, RIGHT)  # 添加所有元素  self.play(Create(axes), Create(linear_graph))  self.play(Create(limit_dot))  self.play(Write(limit_text))  # 等待展示  self.wait(2)  # 高亮极限点  self.play(limit_dot.animate.set_color(ORANGE))  self.wait(2)  # 淡出所有元素  self.play(FadeOut(axes), FadeOut(linear_graph), FadeOut(limit_dot), FadeOut(limit_text))

9.幂函数的极限

\mathop {\lim }\limits_{x \to a} {x^n} = {a^n} 

 

 这是在函数趋近于2是的图像。

 示例代码：

from manim import *  class LimitPowerFunctionVisualization(Scene):  def construct(self):  # 创建坐标轴  axes = Axes(  x_range=[-3, 3, 1],  y_range=[-3, 9, 1],  axis_config={"color": BLUE},  )  # 定义考察点 a 和指数 n  a = 2  # 可以根据需要更改  n = 2  # 可以根据需要更改  # 创建幂函数图形 f(x) = x^n  power_graph = axes.plot(lambda x: x**n, color=YELLOW, x_range=[-3, 3])  # 创建极限点  limit_dot = Dot(axes.c2p(a, a**n), color=YELLOW)  # 创建极限值注释  limit_text = MathTex(r"\lim_{x \to a} x^n = ", a**n).next_to(limit_dot, RIGHT)  # 添加所有元素  self.play(Create(axes), Create(power_graph))  self.play(Create(limit_dot))  self.play(Write(limit_text))  # 等待展示  self.wait(2)  # 高亮极限点  self.play(limit_dot.animate.set_color(ORANGE))  self.wait(2)  # 淡出所有元素  self.play(FadeOut(axes), FadeOut(power_graph), FadeOut(limit_dot), FadeOut(limit_text))

代码解释：

  1. 导入库：使用Manim库进行动画生成。
  2. 创建类：定义类LimitPowerFunctionVisualization，继承自Scene，表示一个动画场景。
  3. 构建坐标轴：创建x和y的坐标轴，设置适当的范围。
  4. 定义考察点：设置考察点 a=2和指数 n=2（可以根据需要更改）。
  5. 绘制幂函数图形：绘制函数 f(x)=x^n 的图形。
  6. 创建极限点：在图上标记出函数的极限值。
  7. 添加注释：为极限值添加文本注释，显示极限的结果。
  8. 动画效果：逐步展示所有图形、极限点和注释，以便观众理解极限的性质。
  9. 高亮显示：在等待一段时间后，将极限点高亮显示，最后淡出所有元素。


http://www.mrgr.cn/news/16033.html

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