使用分离轴定理对多边形进行碰撞检测

前言

分离轴定理（SAT，Separating Axis Theorem）进行二维多边形碰撞检测是一种常见且有效的方法，用于二维多边形碰撞检测的基本思想是：如果两个凸多边形不相交，那么存在一条轴（线），使得这条轴上的投影会使两个多边形的投影不重叠。换句话说，如果我们找到一条轴，使得两个多边形在这条轴上的投影不重叠，那么我们可以确定两个多边形不会相交。

一、计算所有可能的分离轴

对于每个多边形，计算所有边的法向量作为可能的分离轴

对于每个边（即每条边的法向量），法向量是与边垂直的向量

// 计算一个向量的法向量
Vector2 perpendicular(const Vector2& v) {return Vector2(-v.y, v.x);
}// 计算多边形的边法向量
std::vector<Vector2> getPolygonAxes(const std::vector<Vector2>& polygon) {std::vector<Vector2> axes;size_t count = polygon.size();for (size_t i = 0; i < count; ++i) {Vector2 edge = polygon[(i + 1) % count] - polygon[i];axes.push_back(perpendicular(edge));}return axes;
}

二、将多边形投影到每个分离轴上

使用点积运算将多边形的每个顶点投影到分离轴上

计算这些投影的最小值和最大值，以确定投影区间。

// 投影一个多边形到一个轴上
std::pair<float, float> projectPolygon(const std::vector<Vector2>& polygon, const Vector2& axis) {float min = dot(polygon[0], axis);float max = min;for (const auto& vertex : polygon) {float projection = dot(vertex, axis);min = std::min(min, projection);max = std::max(max, projection);}return {min, max};
}// 检查两个多边形是否相交
bool polygonsIntersect(const std::vector<Vector2>& poly1, const std::vector<Vector2>& poly2) {std::vector<Vector2> axes = getPolygonAxes(poly1);std::vector<Vector2> axes2 = getPolygonAxes(poly2);// 将两个多边形的轴合并axes.insert(axes.end(), axes2.begin(), axes2.end());for (const auto& axis : axes) {auto proj1 = projectPolygon(poly1, axis);auto proj2 = projectPolygon(poly2, axis);if (!overlap(proj1, proj2)) {return false; // 找到一个分离轴，两个多边形不相交}}return true; // 没有找到分离轴，两个多边形相交
}

三、检查投影是否重叠 

对每条分离轴上的投影区间进行重叠检测。

如果在任何一个轴上投影区间不重叠，两个多边形就不会相交。

如果所有的轴上投影区间都重叠，那么两个多边形相交。

// 检查两个区间是否重叠
bool overlap(const std::pair<float, float>& a, const std::pair<float, float>& b) {return !(a.second < b.first || b.second < a.first);
}

四、测试源码 

#include <vector>
#include <iostream>
#include <algorithm> // For std::max and std::min// 表示二维向量
struct Vector2 {float x, y;Vector2(float x = 0, float y = 0) : x(x), y(y) {}
};// 计算两个向量的点积
float dot(const Vector2& a, const Vector2& b) {return a.x * b.x + a.y * b.y;
}// 计算两个向量的差
Vector2 operator-(const Vector2& a, const Vector2& b) {return Vector2(a.x - b.x, a.y - b.y);
}// 计算一个向量的法向量
Vector2 perpendicular(const Vector2& v) {return Vector2(-v.y, v.x);
}// 计算多边形的边法向量
std::vector<Vector2> getPolygonAxes(const std::vector<Vector2>& polygon) {std::vector<Vector2> axes;size_t count = polygon.size();for (size_t i = 0; i < count; ++i) {Vector2 edge = polygon[(i + 1) % count] - polygon[i];axes.push_back(perpendicular(edge));}return axes;
}// 投影一个多边形到一个轴上
std::pair<float, float> projectPolygon(const std::vector<Vector2>& polygon, const Vector2& axis) {float min = dot(polygon[0], axis);float max = min;for (const auto& vertex : polygon) {float projection = dot(vertex, axis);min = std::min(min, projection);max = std::max(max, projection);}return {min, max};
}// 检查两个区间是否重叠
bool overlap(const std::pair<float, float>& a, const std::pair<float, float>& b) {return !(a.second < b.first || b.second < a.first);
}// 检查两个多边形是否相交
bool polygonsIntersect(const std::vector<Vector2>& poly1, const std::vector<Vector2>& poly2) {std::vector<Vector2> axes = getPolygonAxes(poly1);std::vector<Vector2> axes2 = getPolygonAxes(poly2);// 将两个多边形的轴合并axes.insert(axes.end(), axes2.begin(), axes2.end());for (const auto& axis : axes) {auto proj1 = projectPolygon(poly1, axis);auto proj2 = projectPolygon(poly2, axis);if (!overlap(proj1, proj2)) {return false; // 找到一个分离轴，两个多边形不相交}}return true; // 没有找到分离轴，两个多边形相交
}int main() {std::vector<Vector2> poly1 = {Vector2(0, 0), Vector2(1, 0),Vector2(1, 1), Vector2(0, 1)};std::vector<Vector2> poly2 = {Vector2(0.5, 0.5), Vector2(1.5, 0.5),Vector2(1.5, 1.5), Vector2(0.5, 1.5)};if (polygonsIntersect(poly1, poly2)) {std::cout << "Polygons intersect!" << std::endl;} else {std::cout << "Polygons do not intersect." << std::endl;}return 0;
}