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算法学习017 不同的二叉搜索树 c++算法学习中小学算法思维学习比赛算法题解信奥算法解析

news 2025/12/1 15:59:53

C++不同的二叉搜索树

一、题目要求

1、编程实现

2、输入输出

二、算法分析

三、程序编写

四、运行结果

五、考点分析

六、推荐资料

C++不同的二叉搜索树

一、题目要求

1、编程实现

给定一个整数n，求以1、2、3、......、n为节点组成的二叉搜索树有多少种

2、输入输出

输入描述：输入一个正整数n

输出描述：只有一行，一个整数，即能够组成的不同的二叉搜索树有多少种

输入样例：

输出样例：

二、算法分析

从给定题目的初步分析可以看出，首先小朋友们要了解什么是二叉搜索树
二叉搜索树：Binary Search Tree，BST，是一种二叉树的特殊形式，其中每个节点的值都大于其左子树的所有节点的值，且小于其右子树的所有节点的值。
二叉搜索树具有以下性质：左子树中所有节点的值都小于根节点的值。右子树中所有节点的值都大于根节点的值。左子树和右子树都是二叉搜索树。
从上面分析可以得到，n=1 有一棵，n=2 有两棵，n=3 有五棵
而从上图中可以看到，当n等于3的时候，对应的结果是由以1为节点的2棵，加上以2为节点的1棵，加上以3为节点的两棵
而以1为根节点的数量=左子树有0个节点的搜索树数量*右子树有2个节点的搜索树数量
以2为根节点的数量=左子树有1个节点的搜索树数量*右子树有1个节点的搜索树数量
以3为根节点的数量=左子树有2个节点的搜索树数量*右子树有0个节点的搜索树数量
即：dp[3] = dp[0]*dp[2] + dp[1]*dp[1] + dp[2]*dp[0]
可以用之前学的动态规划来进行求解
dp[i] 指的就是i个节点对应的不同的二叉搜索树的数量
dp[0]也就是表示0个节点，也就是空二叉树对应的搜索树的数量为1，空二叉树也是一棵二叉树
对应的状态转移方程就是：dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j]，也就是1到i个节点之间每个以j为根节点的二叉搜索树数量之和，而每个以j为根节点的二叉搜索树的数量等于左子树有j-1个节点的搜索树数量乘以右子树有i-j个节点的搜索树数量
对应的遍历顺序就是从1一直到n，从前往后即可

三、程序编写

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[20];
int getBst(int n)
{dp[0] = 1;for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=i;j++)dp[i] += dp[j-1] * dp[i-j];return dp[n];	
}int main()
{int n;cin>>n;cout << getBst(n);return 0;
}

本文作者：小兔子编程作者首页：小兔子编程-CSDN博客