 递推公式 f(n)=1+2n(n-1))
科学计算【免费下载链接】codeforces-go算法竞赛模板库 by 灵茶山艾府 项目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go点击查看免费下载本篇技术指南围绕第 99 场 LeetCode 双周赛 B 题「统计染色格子数」Count Total Number of Colored Cells展开以 leetcode/biweekly/99/b/README.md 的官方题解为主体结合本仓库灵茶山艾府维护的算法竞赛模板库 codeforces-go中该题的完整工程化实现讲解递推关系的建立、闭式解的化简、一行代码实现以及仓库自带的「样例文件驱动 反射调用」测试框架如何验证这类纯数学题。读完本文你将掌握用增量观察法把「从中心格染色扩展」的过程抽象为递推式并化简为 O(1) 公式的完整方法同时学会如何在本仓库中一键跑通并验证该题解。题目回顾染色格子如何在网格中扩散问题场景可以这样理解从网格正中央的一个格子开始染色之后每一分钟所有已染色格子都会把颜色扩散到与它上下左右相邻的未染色格子重复 $n-1$ 分钟。题目要求统计最终被染色的格子总数。这是力扣第 2570 题题目编号与场次信息biweekly-contest-99均记录在本仓库的测试文件 b_test.go 注释中。由于格子总数增长迅速数量级为 $O(n^2)$题目在 Go 这类静态类型语言中要求返回int64这一点直接体现在仓库源码 b.go 的函数签名func coloredCells(n int) int64上后文会专门解释其原因。核心思路用增量观察建立递推关系设答案为 $f(n)$即染色过程进行 $n$ 分钟从 $n1$ 起后的格子总数。原文档给出最关键的一步观察$f(n)$ 相当于在 $f(n-1)$ 的基础上多了 $4$ 组 $n-1$ 的格子。这句话的含义是每一轮扩散在已有图形的上、下、左、右四条边外缘各多出恰好 $n-1$ 个新格子。可以想象扩散图形始终保持为「菱形 / 旋转 45° 的正方形」从 $n1$ 的单个格子出发第 2 分钟在四方向各添 1 格共 4 格第 3 分钟四条边各添 2 格共 8 格依此类推。因此递推关系为$$ f(n) \begin{cases} 1,n1\ f(n-1) 4(n-1),n \ge 2 \end{cases} $$这一观察的关键在于抓住每轮新增格子的规律性四边对称、且新增量与轮次序号 $n-1$ 严格成正比而不是去逐格模拟。对这类「扩散 / 生长」型题目先画出 $n1,2,3$ 的图形、寻找相邻两项之间的差值是比直接推闭式更通用的入门手段。化简递推从递推式到闭式解递推式本身已经可以线性递推求解但原文档进一步把它化简为可直接代入的闭式公式$$ f(n) 1 4(12\cdots n-1) 1 2n(n-1) $$推导过程就是把递推式逐层展开、累加每一轮新增量$$ f(n) f(1) \sum_{k2}^{n} 4(k-1) 1 4\sum_{i1}^{n-1} i 1 4\cdot\frac{(n-1)n}{2} 1 2n(n-1) $$用前几项快速验证$f(1) 1 2\cdot1\cdot0 1$与初始条件一致$f(2) 1 2\cdot2\cdot1 5$$f(3) 1 2\cdot3\cdot2 13$$f(4) 1 2\cdot4\cdot3 25$。其中 $n1$ 与 $n2$ 两组样例正是本仓库测试数据 b.txt 中记录的两组用例输入1输出1输入2输出5。代码实现Python 与 Go 的一行解法原文档给出 Python 与 Go 两种实现。Python 版直接套用闭式公式class Solution: def coloredCells(self, n: int) - int: return 1 2 * n * (n - 1)Go 版与本仓库 b.go 的实现完全一致func coloredCells(n int) int64 { return 1 2*int64(n)*int64(n-1) }值得注意的工程细节是Go 解法中把n和n-1显式转换为int64后再相乘。原因在于闭式解的量级是 $O(n^2)$当 $n10^5$ 时$2n(n-1)\approx 2\times 10^{10}$已经超过 32 位整数int32上限约 $2.1\times 10^9$的表示范围。若按1 2*n*(n-1)直接计算在 32 位平台上会产生整数溢出因此提前用int64参与运算以消除隐患这正是这类「公式简单但数值巨大」题目在强类型语言中常见的坑。复杂度分析时间复杂度$\mathcal{O}(1)$。闭式公式仅含常数次算术运算与 $n$ 无关。空间复杂度$\mathcal{O}(1)$。只使用常数个变量。这也是该题解法的价值所在不模拟、不递推存储把 $O(n^2)$ 数量级的结果用 O(1) 时间直接算出即使 $n$ 达到题目上限也能瞬时返回。仓库中的工程化验证从解法到可运行测试原文档提供了思路与代码而本仓库进一步给出了可直接运行验证的完整工程闭环路径结构为leetcode/biweekly/99/b/下同名的源码、测试与数据文件解法源码 b.go仅含coloredCells函数主体并保留出题人 B 站主页注释测试入口 b_test.go由仓库模板生成调用testutil.RunLeetCodeFuncWithFile驱动测试测试数据 b.txt以「输入行 期望输出行」的平铺格式存储用例空行会被自动忽略。测试驱动的核心位于 leetcode/testutil/leetcode.go 的RunLeetCodeFuncWithFile。它的工作方式值得展开说明读取.txt数据文件通过 helper.go 中的trimSpaceAndEmptyLine去掉每行首尾空白并剔除空行得到纯数据的行序列用reflect.TypeOf(f)反射出被测函数的输入参数个数fNumIn与返回值个数fNumOut按fNumIn fNumOut行一组切分样例若总行数不是组大小的整数倍直接报错提示数据文件格式异常对每组样例用反射构造参数调用被测函数再与期望输出比对leetcode.go。也就是说只要按「函数签名 数据文件」约定摆放文件新增任意题目样例都无需手写断言代码。此外该测试框架还内建了超时检测在非调试模式下用定时器包装函数调用isTLE见 leetcode.go一旦执行超过DebugTLE阈值即标记超时这对验证 O(1) 解法的执行效率也是一个直观的佐证。本地运行验证的方式仓库为只读只读不写go test -v ./leetcode/biweekly/99/b/执行后即可看到Case 1输入 1期望 1与Case 2输入 2期望 5两组用例全部通过从而在源码层面确认闭式公式对边界小值和递推首项的正确性。小结数学思维题的通用解法与后续进阶「统计染色格子数」是一道典型的数学 / 思维类题目解法不依赖任何高级数据结构关键在于通过画出前几项图形找到「每轮新增 4(n-1)」的规律再借等差数列求和化简为 O(1) 公式。这类「先找增量、再化简」的套路可以推广到大量网格生长、螺旋构造类问题。原文档在题解正文后还附有分类题单与视频讲解其中题单按知识点滑动窗口、二分、单调栈、图论、动态规划、数据结构、数学、贪心、字符串等系统地组织了大量题目属于外部资源本仓库内的 leetcode/SOLUTIONS.md 则收录了作者的高质量题解精选含动画图解、多语言实现与难度分排序可作为按知识点继续深挖的入口。若想复现本仓库覆盖的数千道力扣与竞赛题目的「源码 数据 测试」工作流也可参考 copypasta/template/leetcode 目录下的模板与生成器将单题解法快速固化为可回归的工程化样例。赞分享科学计算【免费下载链接】codeforces-go算法竞赛模板库 by 灵茶山艾府 项目地址https://gitcode.com/GitHub_Trending/co/codeforces-go点击查看免费下载相关推荐LeetCode 191 Number of 1 Bits 题解用 n (n - 1) 位运算统计二进制中 1 的个数汉明重量LeetCode 191 Number of 1 Bits 题解用 n n 1 位运算统计二进制中 1 的个数汉明重量 本篇文章基于开源仓库 leet文档教程知识库LeetCode 191 位 1 的个数Number of 1 Bits题解n (n-1) 消位法与位掩码分治详解LeetCode 191 位 1 的个数Number of 1 Bits题解n n 1 消位法与位掩码分治详解 导读 LeetCode 191「位 1文档教程知识库OpenMAIC 多智能体课堂拆解教学助理的白板系统提示词为何只肯给 1-2 个元素的书写权限OpenMAIC 多智能体课堂拆解教学助理的白板系统提示词为何只肯给 1 2 个元素的书写权限 在 OpenMAIC 的交互式课堂里教师、教学助理和学生共人工智能AI 应用AI Agent多智能体教育前端后端RAG上一篇espeak-ng 音库管理实战3 条命令搞定语音包的装、换、删下一篇Jellium Desktop界面字体设置教程设置字体创作声明：本文部分内容由AI辅助生成（AIGC），仅供参考 codeforces-go 题解工程化实战：统计染色格子数（Count Total Number of Colored Cells）的 O(1) 递推公式 f(n)=1+2n(n-1)
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