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动态规划-地下城游戏

news 2025/11/22 8:22:57

在上一篇博客中，我们了解两个关于路径的问题，在这一篇中，我们将进一步了解一道更加困难的问题

题目描述

恶魔们抓住了公主并将她关在了地下城的右下角。地下城是由 m x n 个房间组成的二维网格。我们英勇的骑士最初被安置在左上角的房间里，他必须穿过地下城并通过对抗恶魔来拯救公主。骑士的初始健康点数为一个正整数。如果他的健康点数在某一时刻降至 0 或以下，他会立即死亡。

有些房间由恶魔守卫，因此骑士在进入这些房间时会失去健康点数（若房间里的值为负整数，则表示骑士将损失健康点数）；其他房间要么是空的（房间里的值为 0），要么包含增加骑士健康点数的魔法球（若房间里的值为正整数，则表示骑士将增加健康点数）。为了尽快解救公主，骑士决定每次只向右或向下移动一步。返回确保骑士能够拯救到公主所需的最低初始健康点数。

注意：任何房间都可能对骑士的健康点数造成威胁，也可能增加骑士的健康点数，包括骑士进入的左上角房间以及公主被监禁的右下角房间。

174. 地下城游戏 - 力扣（LeetCode）

解题思路

在这个问题中，我们定义dp[i][j]为骑士从网格中的(i, j)位置（即第i行第j列的房间）出发，到达终点（右下角）所需的最低初始健康点数。

初始化

首先，我们需要考虑边界情况。由于骑士必须从左上角出发，因此dp[0][0]应该根据dungeon[0][0]的值进行调整。如果dungeon[0][0]是负的，那么骑士至少需要-dungeon[0][0] + 1的健康点数来确保从起点出发时不会立即死亡。如果dungeon[0][0]是非负的，那么骑士的初始健康点数可以设为1（因为已经足够应对该房间的情况）。
对于其他边界位置（第一行和第一列），我们需要确保骑士在到达这些位置时不会死亡，并计算到达这些位置所需的最低健康点数。这通常涉及向前看（向右或向下），以确定从当前位置到边界的下一个安全点所需的健康点数。

状态转移方程

对于网格中的非边界位置(i, j)，我们可以根据以下规则计算dp[i][j]：

如果骑士从(i, j)向右移动到(i, j+1)是安全的（即dp[i][j+1]存在且不会导致死亡），则dp[i][j]可以是min(1, dp[i][j+1] - dungeon[i][j])。这里的1表示骑士至少需要1点健康点数才能存活，而dp[i][j+1] - dungeon[i][j]表示从(i, j)向右移动后到达(i, j+1)时所需的健康点数。
如果骑士从(i, j)向下移动到(i+1, j)是安全的，则类似地，dp[i][j]可以是min(1, dp[i+1][j] - dungeon[i][j])。
但是，骑士不能同时向右和向下移动，因此我们需要取上述两种情况中的较大值，以确保无论选择哪个方向，骑士都有足够的健康点数。即：

dp[i][j]=max(1,min(dp[i][j+1]−dungeon[i][j],dp[i+1][j]−dungeon[i][j]))

注意，如果dungeon[i][j]是一个很大的正数，那么骑士在到达(i, j)后可能会拥有超过dp[i][j+1]或dp[i+1][j]的健康点数。然而，我们关心的是确保骑士在到达(i, j)时至少拥有1点健康点数，并且有足够的健康点数来应对接下来的移动。

特殊情况处理

当骑士接近右下角时，他/她需要确保有足够的健康点数来应对最后一个房间（即公主所在的房间）。因此，在计算dp[m-1][n-1]时，我们需要确保dp[m-1][n-1] - dungeon[m-1][n-1] >= 1，即使这意味着dp[m-1][n-1]需要被设置为一个相对较大的值。

通过这种方法，我们可以从右下角开始，逆向填充dp数组，直到左上角。最终，dp[0][0]将包含骑士从左上角出发，确保能够拯救公主所需的最低初始健康点数。

class Solution {
public:int calculateMinimumHP(vector<vector<int>>& dungeon) {int m = dungeon.size();int n = dungeon[0].size();// 创建一个DP数组，初始化为0vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));dp[m - 1][n - 1] = max(1, 1 - dungeon[m - 1][n - 1]); // 右下角特殊处理// 初始化最后一列for (int i = m - 2; i >= 0; i--) {dp[i][n - 1] = max(1, dp[i + 1][n - 1] - dungeon[i][n - 1]);}// 初始化最后一行for (int j = n - 2; j >= 0; j--) {dp[m - 1][j] = max(1, dp[m - 1][j + 1] - dungeon[m - 1][j]);}// 填充DP数组的其他部分for (int i = m - 2; i >= 0; i--) {for (int j = n - 2; j >= 0; j--) {dp[i][j] =max(1, min(dp[i][j + 1], dp[i + 1][j]) - dungeon[i][j]);}}return dp[0][0];}
};

代码解释

我们首先定义了一个dungeon的二维向量来表示地下城，并初始化了DP数组dp。
我们从右下角开始逆向计算DP数组。因为右下角是终点，所以我们可以直接根据dungeon[m-1][n-1]的值来设置dp[m-1][n-1]。
然后，我们分别初始化DP数组的最后一列和最后一行。这是因为当我们处于这些边界上时，我们只能沿着一个方向移动（向右或向下），所以计算相对简单。
接下来，我们填充DP数组的其他部分。对于每个位置(i, j)，我们查看其右侧和下方的位置，并选择其中所需健康点数较小的那个。但是，我们还需要确保这个值至少为1，因为骑士至少需要1点健康点数才能存活。
最后，我们返回dp[0][0]，即从左上角出发所需的最低初始健康点数。