数学基础 -- 线性代数之增广矩阵

增广矩阵

增广矩阵（Augmented Matrix）是在求解线性方程组时常用的工具。它将线性方程组的系数矩阵与常数项合并在一起，形成一个扩展的矩阵，从而便于使用矩阵操作方法求解方程组。

定义

假设我们有一个线性方程组：

$$\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =b_2\\ ⋮& \\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =b_m\end{array}$$

其对应的系数矩阵 $A$ 是：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right)$$

常数项列矩阵 $B$ 是：

$$B=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$$

增广矩阵就是将系数矩阵和常数项列矩阵合并，构成的一个新的矩阵 $[A|B]$ 形式：

$$[A|B]=\left(\begin{array}{cccccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}& |& b_1\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}& |& b_2\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& |& ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}& |& b_m\end{array}\right)$$

用途

增广矩阵在求解线性方程组中非常有用。通过对增广矩阵进行初等行变换（类似高斯消元法），可以将其化为简化的形式，从而得出线性方程组的解。这种方法简化了手动处理多个方程的复杂性，尤其在使用计算机算法时非常高效。

解法步骤（使用增广矩阵求解线性方程组）

1. 构建增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数项矩阵结合为增广矩阵。
2. 进行初等行变换：对增广矩阵进行高斯消元或高斯-约当消元，将其化为行简化阶梯形矩阵。
3. 提取解：根据化简后的矩阵形式，可以直接得出方程组的解。

增广矩阵的好处在于，它使得整个求解过程可以通过矩阵操作来完成，减少了繁琐的方程处理过程。