leetcode322. 零钱兑换,完全背包最值问题，附背包问题模板

leetcode322. 零钱兑换

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：
输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

示例 2：
输入：coins = [2], amount = 3
输出：-1

示例 3：
输入：coins = [1], amount = 0
输出：0

提示：
1 <= coins.length <= 12
1 <= coins[i] <= 231 - 1
0 <= amount <= 104

题目描述

给定一组货币面额和一个总金额，计算可以凑出该总金额的硬币组合数。如果没有任何一种组合可以凑出该金额，则返回 -1。

算法分析

这个问题可以通过动态规划来解决。我们创建一个数组 dp，其中 dp[j] 表示凑出金额 j 的最小硬币数量。我们遍历所有可能的硬币组合，并更新 dp 数组。

算法步骤

1. 初始化一个数组 dp，其大小为 amount + 1，所有元素初始化为无穷大，除了 dp[0] 初始化为 0。
2. 遍历所有可能的硬币组合。
3. 对于每个硬币 coins[i]，更新 dp[j] 为 min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1)，其中 j 是当前考虑的金额。
4. 最后，检查 dp[amount] 是否为无穷大。如果是，则没有有效的组合；否则，返回 dp[amount]。

算法流程

具体代码

//dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1)
class Solution {
public:int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX/2);dp[0] = 0;for (int i = 0; i < coins.size(); ++i) {for (int j = 1; j <= amount; ++j) {if (coins[i] <= j) {dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);}}}return dp[amount] == INT_MAX/2 ? -1 : dp[amount];}
};

算法分析

复杂度分析

• 时间复杂度：O(amount * coins.size())，其中 amount 是总金额，coins.size() 是硬币种类的数量。
• 空间复杂度：O(amount)，我们需要一个数组来存储每个金额的最小硬币数量。

易错点

• 在初始化 dp 数组时，确保所有元素都被正确初始化。
• 在更新 dp 数组时，确保正确地计算最小硬币数量。
• 在检查是否有有效组合时，确保正确地处理无穷大的情况。

注意事项

• 确保在遍历硬币组合时不要超出数组的边界。
• 在处理数组时，确保不会覆盖任何元素。

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题目	链接
零钱兑换	https://leetcode.com/problems/coin-change/
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最长递增子序列	https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence/
最小路径和	https://leetcode.com/problems/minimum-path-sum/

背包问题模板

背包分类：
1、0/1背包：外循环nums,内循环target,target倒序且target>=nums[i];
2、完全背包：外循环nums,内循环target,target正序且target>=nums[i];

问题分类：
1、最值问题:

dp[i] = max/min(dp[i], dp[i-nums]+1);

或

dp[i] = max/min(dp[i], dp[i-num]+nums);

2、存在问题(bool)：

dp[i]=dp[i]||dp[i-num];

3、组合问题：

dp[i]+=dp[i-num];