1.7无穷级数

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引言

无穷级数是考研数学一的核心内容，涵盖数项级数、幂级数、傅里叶级数等核心概念。本文系统梳理4大考点，结合公式速查与实战示例，助你高效突破级数难点！

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考点一：数项级数敛散性判定

1️⃣ 正项级数

(1) 比较审敛法

公式：

• 若 $0\le a_n\le b_n$，则：
  • $\sum b_n$ 收敛 → $\sum a_n$ 收敛
  • $\sum a_n$ 发散 → $\sum b_n$ 发散
    示例：
    判断 $\sum \frac{1}{n^2+1}$ 的敛散性。
    解：因 $\frac{1}{n^2+1}<\frac{1}{n^2}$，而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，故原级数收敛。

(2) 比值审敛法

公式：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho$$

• $\rho <1$ → 收敛
• $\rho >1$ → 发散
• $\rho =1$ → 无法判定
  示例：
  判断 $\sum \frac{n!}{n^n}$ 的敛散性。
  解：${\lim }_{n\to \infty }\frac{(n+1)!}{(n+1{)}^{n+1}}\cdot \frac{n^n}{n!}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n^n}{(n+1{)}^n}=\frac{1}{e}<1$，故收敛。

(3) 积分审敛法

适用场景：$a_n=f(n)$，其中 $f(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上非负连续。
步骤：计算 ${\int }_1^{+\infty }f(x)dx$，若积分收敛则级数收敛，反之发散。
示例：
判断 $\sum \frac{1}{x\ln x}$ 的敛散性。
解：${\int }_2^{+\infty }\frac{1}{x\ln x}dx=\ln (\ln x){|}_2^{+\infty }=+\infty$，故发散。

2️⃣ 交错级数

(1) 莱布尼兹判别法

条件：

1. $u_n\ge u_{n+1}$（单调递减）
2. ${\lim }_{n\to \infty }{u}_n=0$
   结论：若满足条件，则交错级数 $\sum (-1{)}^{n-1}{u}_n$ 收敛。
   示例：
   判断 $\sum (-1{)}^{n-1}\frac{1}{n}$ 的敛散性。
   解：$u_n=\frac{1}{n}$ 单调递减且趋于0，故收敛。

(2) 绝对收敛与条件收敛

• 绝对收敛：若 $\sum |a_n|$ 收敛，则 $\sum a_n$ 绝对收敛。
• 条件收敛：若 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散。
  示例：
  $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$ 条件收敛（因 $\sum \frac{1}{n}$ 发散）。

3️⃣ 一般级数

(1) 收敛性质

性质	结论
绝对收敛级数	任意加括号后仍绝对收敛
条件收敛级数	加括号可能改变敛散性
收敛 + 收敛	收敛
收敛 + 发散	发散

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考点二：幂级数的收敛域与收敛半径

1️⃣ 收敛半径公式

比值法：
$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$$
根值法：
$$R=\frac{1}{{\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}}$$

示例：
求 $\sum \frac{x^n}{n^2}$ 的收敛半径。
解：${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{1/n^2}{1/(n+1{)}^2}\right|=1$，故 $R=1$。

2️⃣ 收敛域判定

收敛半径 $R$	判定方法	示例
$R>0$	端点单独验证	$\sum \frac{x^n}{n}$ 在 $x=1$ 处发散，$x=-1$ 处条件收敛
$R=0$	仅 $x=0$ 处收敛	$\sum n!x^n$
$R=+\infty$	全体实数收敛	$\sum \frac{x^n}{n!}$

3️⃣ 逐项积分与求导

性质：

• 逐项积分后收敛半径不变。
• 逐项求导后收敛半径不变，但端点可能变化。
  示例：
  已知 $\sum x^n=\frac{x}{1-x}$（$|x|<1$），逐项积分得 $\sum \frac{x^{n+1}}{n+1}=-\ln (1-x)$，收敛域仍为 $|x|<1$。

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考点三：幂级数求和函数

1️⃣ 逐项求导法

步骤：

1. 对幂级数逐项求导，化为已知级数形式。
2. 积分还原原函数。
   示例：
   求 $S(x)={\sum }_{n=1}^{\infty }n{x}^{n-1}$（$|x|<1$）。
   解：逐项积分得 $\int S(x)dx=\sum x^n=\frac{x}{1-x}$，再求导得 $S(x)=\frac{1}{(1-x{)}^2}$。

2️⃣ 微分方程法

示例：
求 $S(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$。
解：已知 $S(x)=e^x$，直接验证满足微分方程 $S^{\prime }(x)=S(x)$。

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考点四：狄利克雷收敛定理与傅里叶级数

1️⃣ 狄利克雷收敛定理

条件：

1. $f(x)$ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上分段光滑。
2. 周期为 $2\pi$。
   结论：
   $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)=\frac{f(x^{+})+f(x^{-})}{2}$$

点类型	条件	$S(x_0)$ 与 $f(x_0)$ 的关系
连续点	$f(x_0^{-})=f(x_0^{+})=f(x_0)$	$S(x_0)=f(x_0)$
跳跃间断点	$f(x_0^{-})\ne f(x_0^{+})$	$S(x_0)=\frac{f(x_0^{-})+f(x_0^{+})}{2}$
极值点/振荡点	满足狄利克雷条件	$S(x_0)=f(x_0)$

示例：设 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& x\ge 0\\ -1,& x<0\end{array}$，其傅里叶级数在 $x=0$ 处收敛于 $\frac{1+(-1)}{2}=0$。

2️⃣ 傅里叶级数

（1）傅里叶级数展开

对于周期为 $2l$ 的函数 $f(x)$，其傅里叶级数展开式为：
$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left(\frac{n\pi x}{l}\right)+b_n\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)\right)$$
其中：

• 基函数：$\cos \left(\frac{n\pi x}{l}\right)$ 和 $\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)$ 的周期为 $2l$。
• 系数公式：需通过积分计算，具体如下。

(2) 余弦项系数 $a_n$
$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \left(\frac{n\pi x}{l}\right)dx(n=1,2,3,\dots )$$
(3) 正弦项系数 $b_n$
$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)dx(n=1,2,3,\dots )$$

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公式速查表

类型	公式/方法	适用场景
比值审敛法	${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}$	正项级数
莱布尼兹判别法	$u_n\ge u_{n+1}$ 且 $\lim u_n=0$	交错级数
收敛半径	$R=\frac{1}{\lim \sqrt[n]{a_n}}$	幂级数
傅里叶系数	$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$	周期为 $2\pi$ 的函数
周期为 $2l$ 的傅里叶级数	$\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l}\right)$	任意周期函数
偶函数展开	$\frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\cos \frac{n\pi x}{l}$	偶函数
奇函数展开	${\sum }_{n=1}^{\infty }{b}_n\sin \frac{n\pi x}{l}$	奇函数

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实战技巧

1. 端点检验：收敛半径计算后，务必验证端点敛散性。
2. 逐项操作：幂级数求和时，优先尝试逐项求导或积分。
3. 对称性简化：奇偶函数傅里叶级数中，仅需计算对应系数。

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总结：无穷级数的核心在于灵活应用审敛法、幂级数性质和傅里叶展开。结合几何意义与定理条件，系统攻克级数难题！ 🚀

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