【2024_CUMCM】TOPSIS法(优劣解距离法)

news/2024/7/14 20:58:08

目录

引入

层次分析法的局限性

简介

例子

想法1 

想法2 运用实际分数进行处理

想法3

问题 

扩展问题:增加指标个数

极大型指标与极小型指标

统一指标类型-指标正向化

标准化处理

计算公式

计算得分

 对原公式进行变化

升级到m个指标和n个对象

代码 

第一步 将原始矩阵正向化

常见的四种指标

极小型-->极大型

中间型-->极大型

区间型-->极大型

第二步 正向化矩阵标准化

第三步 计算得分并归一化

练习

思路

代码

模型扩展——带权重的TOPSISI


引入

层次分析法的局限性

1)评价的决策层不能太多,太多n太大,导致判断矩阵和一致矩阵有差异

2)填数据

简介

TOPSIS法(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) 可翻译为逼近理想解排序法,国内常简称为优劣解距离法。TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法,其能充分利用原始数据的信息, 其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。


例子

想法1 

按排名,之间进行占比,如第一名-4-0.4,第二名-3-0.3

具备不合理,如果分数跨度过大,会出现严重不公平,例如如果最高分是99,最低分是10,而他们分数分布是0.4和0.1

想法2 运用实际分数进行处理

x - min / max - min

运用公式计算,然后进行归一化

新问题:如果最后一面考60是0分,如果最后一名考10分还是零分

想法3

这样就相对来说公平些

问题 

  • 比较的对象不可能只有四个
  • 比较的指标不会只有一个
  • 很多指标不存在理论上的最大和最小值,例如GDP增速 

扩展问题:增加指标个数

不难发现,成绩是越高越好,与他人争吵次数是越低越好

极大型指标与极小型指标

越高越好的指标是极大型指标(效益型),越低越好的指标是极小型指标 (成本型)


统一指标类型-指标正向化

极小型指标转化为及大型指标公式

max - x 


标准化处理

标准化处理就是在消去量纲,即消去不同指标的影响

计算公式

会看即可,即xij除以列向量里面每一个元素的平方和再开方 

计算得分

 对原公式进行变化

| x - min | / ( | x + max | + | x - min | )

升级到m个指标和n个对象

与最大/小值的距离,也就是两点距离公式的推广

代码 

   


第一步 将原始矩阵正向化

常见的四种指标

  • 极大型指标 
    • 越大越好
    • 成绩、GDP增速、企业利润
  • 极小型指标
    • 越小越好
    • 费用、坏频率、污染程度
  • 中间型指标
    • 接近某个中间值越好
    • PH
  • 区间型指标
    • 落在某个区间越好
    • 体温
所谓的将原始矩阵正向化,就是要将所有的指标类型统一转化为 极大型指标。 (转换的函数形式可以不唯一  

极小型-->极大型

最常用的还是` max - x ` 

中间型-->极大型

 M指的是原值到中间值的距离的最大值

带入公式即可

区间型-->极大型

a和b表示区间的端点,按上述公式进行求解即可

第二步 正向化矩阵标准化

消去不同指标量纲的影响

本文在前面有提到并附有代码,不在赘述

第三步 计算得分并归一化


练习

思路

这是一个评价问题,用topsis方法

按照上面讲过的步骤进行:

第一步,正向化,一般默认化为极大型指标,含氧量-极大型,PH-中间型,细菌总数-极小型,植物性营养物量-区间型,所以后面三个指标需要正向化;编写matlab,按照上面介绍的公式进行即可。

第二步,标准化

第三步,计算与最大值和最小值的距离并归一化

看熟代码,了解原理即可

代码

[n,m] = size(X);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象, ' num2str(m) '个评价指标']) 
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要经过正向化处理,需要请输入1 ,不需要输入0:  ']);if Judge == 1Position = input('请输入需要正向化处理的指标所在的列,例如第2、3、6三列需要处理,那么你需要输入[2,3,6]: '); %[2,3,4]disp('请输入需要处理的这些列的指标类型(1:极小型, 2:中间型, 3:区间型) ')Type = input('例如:第2列是极小型,第3列是区间型,第6列是中间型,就输入[1,3,2]:  '); %[2,1,3]% 注意,Position和Type是两个同维度的行向量for i = 1 : size(Position,2)  %这里需要对这些列分别处理,因此我们需要知道一共要处理的次数,即循环的次数X(:,Position(i)) = Positivization(X(:,Position(i)),Type(i),Position(i));% Positivization是我们自己定义的函数,其作用是进行正向化,其一共接收三个参数% 第一个参数是要正向化处理的那一列向量 X(:,Position(i))   回顾上一讲的知识,X(:,n)表示取第n列的全部元素% 第二个参数是对应的这一列的指标类型(1:极小型, 2:中间型, 3:区间型)% 第三个参数是告诉函数我们正在处理的是原始矩阵中的哪一列% 该函数有一个返回值,它返回正向化之后的指标,我们可以将其直接赋值给我们原始要处理的那一列向量enddisp('正向化后的矩阵 X =  ')disp(X)
end%% 对正向化后的矩阵进行标准化
Z = X ./ repmat(sum(X.*X) .^ 0.5, n, 1);
disp('标准化矩阵 Z = ')
disp(Z)%% 计算与最大值的距离和最小值的距离,并算出得分
D_P = sum([(Z - repmat(max(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D+ 与最大值的距离向量
D_N = sum([(Z - repmat(min(Z),n,1)) .^ 2 ],2) .^ 0.5;   % D- 与最小值的距离向量
S = D_N ./ (D_P+D_N);    % 未归一化的得分
disp('最后的得分为:')
stand_S = S / sum(S)
[sorted_S,index] = sort(stand_S ,'descend')

模型扩展——带权重的TOPSISI

在前面计算得分时,我们都是默认指标的权重相同进行计算,而在实际运用中,应该时有权重关系的。

层次分析法的主观性太强了,更推荐使用熵权法来进行客观赋值。 后面会补充熵权topsis法


http://www.mrgr.cn/p/67683717

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